リーマンゼータ関数 $\zeta(s)$ の定義
定義
実部が $1$ より大きい複素数 $s$ について,
$\displaystyle \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$
をリーマン・ゼータ関数という.
なお, この関数は $s \neq 1$ の複素数の範囲に解析接続により拡張することができる.
たとえば,
$\zeta(2)$ $\displaystyle =\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ $\displaystyle = \frac{\pi^2}{6}$
$\zeta(4)$ $\displaystyle =\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4}$ $\displaystyle = \frac{\pi^4}{90}$
です。
