階差数列から元の数列の一般項を求める式 $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}b_k$ の証明
階差数列 $\{ b_n \}$ から元の数列 $\{ a_n \}$ の一般項を求める式を理解してみよう。
公式（階差数列から一般項の導出）
数列 $\{a_n\}$ の初項を $a_1$, その階差数列を $\{b_n\}$ とする。 $n \geq 2$ において $$ a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k $$ が成り立つ。
階差数列の定義は $b_k = a_{k+1} - a_k$ である。
§各項の展開と相殺
$n \geqq 2$ のとき, $k=1, \ \cdots , n-1$ の各 $b_k$ を書き並べると次のようになる。 $$ \begin{aligned} b_1 &= a_2 - a_1 \\ b_2 &= a_3 - a_2 \\ b_3 &= a_4 - a_3 \\ &\vdots \\ b_{n-1} &= a_n - a_{n-1} \end{aligned} $$ これらの式の辺々を加えると, 右辺の中間項（$a_2, a_3, \dots, a_{n-1}$）がすべて打ち消し合い, 最初と最後だけが残る。
§和の計算
$$ \sum_{k=1}^{n-1} b_k = a_n - a_1 $$
§結論
$-a_1$ を左辺に移項することで, 次の公式が得られる。 $$ a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k \quad (n \geqq 2) $$
たとえば,
$1$, $3$, $6$, $10$
という数列の階差数列は,
$2=3-1$,
$3=6-3$,
$4=10-6$
の, $2$. $3$, $4$ です。
$2 + 3+ 4$ $=10-1$
なので, 元の数列の初項の $1$ に階差数列を3つ足すと, ４番目の $10$ になっています。
