階差数列から元の数列の一般項を求める式 $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}b_k$ の証明
階差数列 $\{ b_n \}$ から元の数列 $\{ a_n \}$ の一般項を求める式を理解してみよう。
階差数列から元の数列の導出
数列 $\{ a_n \}_{n}$ の初項が $a_1$ であり, 階差数列が $\{ b_n \}_{n}$ であるとする.
$n \geq 2$ のとき,
$\displaystyle a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}b_k$
である.
証明.
$\{a_n\}$ の階差数列 $\{ b_n \}$ の定義は
$b_n = a_{n+1}-a_n$
であった.
$n \geq 2$ のとき, $b_1$, $\cdots$, $b_{n-1}$ を $\{a_n\}$ で表し, 和を取る.
$\begin{array}{ccccc}
b_{n-1} &= &a_{n} &- &a_{n-1} \\
\vdots & = & \vdots & - & \vdots \\
b_2 &= &a_{3} &- &a_2 \\
b_1 &= &a_2 &- &a_1 \\ \hline
\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}b_k &= &a_n &- & a_1
\end{array}$
ゆえに, $n \geq 2$ のとき,
$\displaystyle a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}b_k$
は成り立つ.
たとえば,
$1$, $3$, $6$, $10$
という数列の階差数列は,
$2=3-1$
$3=6-3$
$4=10-6$
の, $2$. $3$, $4$ です。
$2 + 3+ 4$ $=10-1$
なので, 元の数列の初項の $1$ に階差数列を3つ足すと, ４番目の $10$ になっています。
