階差数列の和について
階差数列 $\{ b_n \}$ の和は元の数列 $\{ a_n \}$ で簡単に書けることを示してみよう。
命題
数列 $\{ a_n \}_{n}$ の階差数列を $\{ b_n \}_{n}$ とする. 階差数列の和について,
$\displaystyle \sum_{k=1}^nb_k = a_{n+1} - a_1$
証明.
$\{a_n\}$ の階差数列 $\{ b_n \}$ の定義は
$b_n = a_{n+1}-a_n$
であった.
$b_1$, $\cdots$, $b_{n}$ を $\{a_n\}$ で表し, 和を取る.
$\begin{array}{ccccc}
b_{n} &= &a_{n+1} &- &a_{n} \\
b_{n-1} &= &a_{n} &- &a_{n-1} \\
\vdots & = & \vdots & - & \vdots \\
b_2 &= &a_{3} &- &a_2 \\
b_1 &= &a_2 &- &a_1 \\ \hline
\displaystyle \sum_{k=1}^{n}b_k &= &a_{n+1} &- & a_1
\end{array}$
ゆえに,
$\displaystyle \sum_{k=1}^nb_k = a_{n+1} - a_1$
は成り立つ.
たとえば,
$1$, $3$, $6$, $10$
という数列の階差数列は,
$2=3-1$
$3=6-3$
$4=10-6$
の, $2$. $3$, $4$ です。
$2 + 3+ 4$ $=10-1$ $=9$
になっています。
