階比数列から元の数列の一般項を求める式 $\displaystyle a_n = a_1 \times \prod_{k=1}^{n-1} b_k$ の証明

証明.

$\{a_n\}$ の階比数列 $\{ b_n \}$ の定義は

$\displaystyle b_n = \frac{a_{n+1}}{a_n}$

であった.

$n \geq 2$ のとき, $b_1$, $\cdots$, $b_{n-1}$ を $\{a_n\}$ で表し, 積を取る.

$\begin{array}{ccccc}
b_{n-1} &= &a_{n} & / &a_{n-1} \\
\vdots & = & \vdots & / & \vdots \\
b_2 &= &a_{3} & / &a_2 \\
b_1 &= &a_2 & / &a_1 \\ \hline
\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1}b_k &= &a_n &/ & a_1
\end{array}$

$\displaystyle \frac{a_n}{a_{n-1}} \cdot \frac{a_{n-1}}{a_{n-2}} \cdots \frac{a_3}{a_2} \cdot \frac{a_2}{a_1}$ $\displaystyle = \frac{a_n}{a_1}$

ゆえに, $n \geq 2$ のとき,

$\displaystyle a_n = a_1 \times \prod_{k=1}^{n-1}b_k$

は成り立つ.