階比数列から元の数列の一般項を求める式 $a_n = a_1 \times \prod_{k=1}^{n-1} b_k$ の証明
数列 $\{a_n\}$ の初項を $a_1$, その階比数列を $\displaystyle b_n = \frac{a_{n+1}}{a_n}$ とするとき, $n \geq 2$ について $$ \begin{aligned} a_n &= a_1 \times \prod_{k=1}^{n-1} b_k \\ &= a_1 \cdot b_1 \cdot b_2 \cdot \cdots \cdot b_{n-1} \end{aligned} $$ が成り立つ。
階比数列の定義 $\displaystyle b_k = \frac{a_{k+1}}{a_k}$ より, $n \geq 2$ において $b_1$ から $b_{n-1}$ までの積を考える。
各項を定義に従って書き並べると次のようになる。 $$ \begin{aligned} b_1 &= \frac{a_2}{a_1} \\ b_2 &= \frac{a_3}{a_2} \\ &\vdots \\ b_{n-1} &= \frac{a_n}{a_{n-1}} \end{aligned} $$ これらの辺々の積をとると： $$ \prod_{k=1}^{n-1} b_k = \frac{a_2}{a_1} \cdot \frac{a_3}{a_2} \cdot \frac{a_4}{a_3} \cdots \frac{a_n}{a_{n-1}} $$
分子と分母で共通する項 $a_2, a_3, \dots, a_{n-1}$ がすべて約分されるため, 右辺には $a_1$ と $a_n$ だけが残る。 $$ \prod_{k=1}^{n-1} b_k = \frac{a_n}{a_1} $$
両辺に $a_1$ を掛けることで, 求める一般項の式が得られる。 $$ a_n = a_1 \times \prod_{k=1}^{n-1} b_k $$
$2 \cdot 3\cdot 4$ $=24/1$ なので, 元の数列の初項の $1$ に階比数列を3つかけると, ４番目の $24$ になっています。
