$\sin^2 \theta + \cos^2\theta=1$【三角比の相互関係】
三角比の相互関係の公式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta=1$ を, 直角三角形による定義から証明してみよう。
公式
$0^{\circ}<\theta <90^{\circ}$ であるとき,
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta=1$
証明.
次の直角三角形 $\mathrm{ABC}$ を想定する.
三平方の定理より, $a^2 + b^2 = c^2$ が成り立つ.
この式の両辺を $c^2$ で割ることで,
$\displaystyle \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2}=1$ $\Leftrightarrow \displaystyle \left(\frac{a}{c} \right)^2 + \left(\frac{b}{c} \right)^2=1$
を得る.
また, 正弦と余弦の定義より,
$\displaystyle \sin \theta = \frac{a}{c}$, $\displaystyle \cos \theta = \frac{b}{c}$
であった.
ゆえに, $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ が成り立つ.
$\theta = 30^{\circ}$ のときは,
$\displaystyle \sin \theta = \frac{1}{2}$
$\displaystyle \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$
であり,
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta$ $\displaystyle = \frac{1}{4} + \frac{3}{4}$ $=1$
になります。
