データの一次変換による標準偏差の変化
データ $x$ の各値を $y=ax+b$ によって変換したあとのデータの標準偏差 $s_{y}$ が $s_{y} = |a|s_{x}$ であることを示してみよう。
性質
データ $x=[x_1, x_2, \cdots, x_n]$ について, 標準偏差を $s_{x}$ とする.
データ $x$ の各値 $x_k$ $(1 \leq k \leq n)$ を $y_k=ax_k + b$ と変換したあとのデータを $y$ とする. データ $y$ の標準偏差を $s_y$ とする.
このとき, $s_y = |a|s_x$ が成り立つ.
証明.
一次変換 $y=ax+b$ による分散の値の変化は
$s_y^2 = a^2s_x^2$
である. ゆえに, $s_y = |a|s_x$ が成り立つ.
たとえば,
$x=[1, 2, 3]$
のとき, $y=-2x+1$ と変形すると,
$y=[-1, -3, -5]$
になります。
$\displaystyle s_x=\frac{\sqrt{6}}{3}$,
$\displaystyle s_y=\frac{2\sqrt{6}}{3}$
なので,
$s_y=|-2| s_x$
が成り立っています。
