標本平均の標準偏差について
母集団の標準偏差が $\sigma$ のとき, 標本平均の標準偏差は $\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ になることを示してみよう。
命題
母集団分布 $D$ の標準偏差を $\sigma$ とする. $D$ に従う独立な確率変数 $X_1$, $X_2$, $\cdots$, $X_n$ の標本平均
$\displaystyle \overline{X}_n = \frac{1}{n}(X_1 + \cdots + X_n)$
について, 標準偏差は
$\displaystyle \sigma[\overline{X}_n] = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
が成り立つ.
証明.
分散 $\sigma^2$ の確率分布に従う確率変数の標本平均の分散は,
$\displaystyle V[\overline{X}_n] = \frac{\sigma^2}{n}$
であった. また, $\sigma[\overline{X}_n] = \sqrt{V[\overline{X}_n]}$ である.
ゆえに, $\displaystyle \sigma[\overline{X}_n] = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ が成り立つ.
母集団の標準偏差が $6$ ならば,
$\sigma[\overline{X}_1] = 6$,
$\sigma[\overline{X}_2] = 3\sqrt{2}$,
$V[\overline{X}_3] = 2\sqrt{3}$
です。
