定数列の和の公式 $\displaystyle \sum_{k=1}^nc=nc$ の証明

定数 $c$ の和 $\displaystyle \sum_{k=1}^n c = c+c+\cdots +c$ が $nc$ であることを証明してみよう。

公式

$c$ を定数とする. このとき,

$\displaystyle \sum_{k=1}^n c = nc$

証明.

定数列 $\{ c \}_n$ について, 数列の和

$\displaystyle \sum_{x=1}^na_k = a_1 + \cdots + a_n$

の定義を対応させると,

$\displaystyle \sum_{k=1}^n c = c+c+\cdots +c$

となる. 右辺には $c$ が $n$ 個あるので, この和は $nc$ である.

ゆえに, $\displaystyle \sum_{k=1}^n c = nc$ は成り立つ.

たとえば,

$c=5$ のとき,

$\displaystyle \sum_{k=1}^35$ $=5+5+5$

で, $3 \times 5$ と等しいです。

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