定数列の和の公式 $\displaystyle \sum_{k=1}^nc=nc$ の証明
定数 $c$ の和 $\displaystyle \sum_{k=1}^n c = c+c+\cdots +c$ が $nc$ であることを証明してみよう。
公式
$c$ を定数とする. このとき,
$\displaystyle \sum_{k=1}^n c = nc$
証明.
定数列 $\{ c \}_n$ について, 数列の和
$\displaystyle \sum_{x=1}^na_k = a_1 + \cdots + a_n$
の定義を対応させると,
$\displaystyle \sum_{k=1}^n c = c+c+\cdots +c$
となる. 右辺には $c$ が $n$ 個あるので, この和は $nc$ である.
ゆえに, $\displaystyle \sum_{k=1}^n c = nc$ は成り立つ.
たとえば,
$c=5$ のとき,
$\displaystyle \sum_{k=1}^35$ $=5+5+5$
で, $3 \times 5$ と等しいです。