$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ の証明【数学的帰納法】
公式
$$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$$
$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2 = 1^2+2^2+\cdots +n^2$ が $\displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ であることを数学的帰納法で証明してみよう。
証明のイメージ
$$\begin{aligned}
&\frac{1}{6} n (n+1)(2n+1) + (n+1)^2 \\
& = \frac{n+1}{6}\{n(2n+1) + 6(n+1)\} \\
& = \frac{n+1}{6}\{2n^2 + 7n +6 \} \\
& = \frac{n+1}{6}(n+2)(2n+3) \\
& = \frac{1}{6}(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)
\end{aligned}$$
公式. $\displaystyle \sum_{k=1}^nk^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$.
任意の自然数 $n$ について, 等式 $\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ が正しいことを数学的帰納法によって証明する.
$n=1$ のとき, 左辺は $1^2=1$ であり, 右辺は $\frac{1}{6}\cdot 1 \cdot (1+1)(2\cdot 1 +1)=1$ である. ゆえに, $n=1$ のとき等式は成り立つ.
$n=\ell \geqq 1$ のとき, $\displaystyle \sum_{k=1}^{\ell} k^2 = \frac{1}{6}\ell(\ell+1)(2\ell +1)$ と仮定する.
$n=\ell+1$ のとき, 等式の左辺 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\ell+1} k^2$ を計算していく.
$$\begin{aligned}
\sum_{k=1}^{\ell+1} k^2 & = 1^2 + \cdots + \ell^2 + (\ell + 1)^2 \\
&=\frac{1}{6} \ell (\ell + 1)(2\ell +1) + (\ell +1)^2 \\
& = \frac{\ell+1}{6}\{\ell(2\ell+1) + 6(\ell+1)\} \\
& = \frac{\ell+1}{6}\{2\ell^2 + 7\ell +6 \} \\
& = \frac{\ell+1}{6}(\ell+2)(2\ell+3) \\
& = \frac{1}{6}(\ell+1)(\ell+2)(2(\ell+1)+1)
\end{aligned}$$
この式は $n=\ell + 1$ のとき, 示す等式の右辺である.
よって, $n=\ell$ のとき等式が成り立つと仮定すると, $n=\ell+1$ のときも等式が成り立つことが示せた.
数学的帰納法により, すべての自然数 $n$ について, 等式 $$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$$ は正しい.
