$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ の証明【数学的帰納法】

任意の自然数 $n$ について, 次の等式が成り立つことを証明する。 $$ \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \quad \cdots (\text{＊}) $$

左辺は $1^2=1$, 右辺は $\frac{1}{6}\cdot 1 \cdot (1+1)(2\cdot 1 + 1) = 1$ である。
ゆえに, $n=1$ のとき等式(＊)は成り立つ。

$n=\ell \geqq 1$ のとき, 等式(＊)が成り立つと仮定する。すなわち, $$ \sum_{k=1}^{\ell} k^2 = \frac{1}{6}\ell(\ell+1)(2\ell+1) $$ が成り立つと仮定する。

$n=\ell+1$ のとき, (＊)の左辺を計算する： $$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{\ell+1} k^2 &= 1^2 + \cdots + \ell^2 + (\ell + 1)^2 \\ &= \frac{1}{6} \ell (\ell + 1)(2\ell + 1) + (\ell + 1)^2 \\ &= \frac{\ell+1}{6} \{ \ell(2\ell+1) + 6(\ell+1) \} \\ &= \frac{\ell+1}{6} ( 2\ell^2 + 7\ell + 6 ) \\ &= \frac{\ell+1}{6} (\ell+2)(2\ell+3) \\ &= \frac{1}{6} (\ell+1)(\ell+2) \{ 2(\ell+1)+1 \} \end{aligned} $$ この式は $n=\ell + 1$ のときの等式(＊)の右辺に一致する。

$n=\ell$ のとき等式(＊)が成り立つと仮定すると, $n=\ell+1$ のときも成り立つことが示された。
数学的帰納法により, すべての自然数 $n$ について $$ \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) $$ は正しい。