$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^3=\left\{ \frac{1}{2}n(n+1) \right\}^2$ の証明【数学的帰納法】

自然数 $n$ に関する次の式を証明する。 $$ \sum_{k=1}^n k^3 = \left\{ \frac{1}{2}n(n+1) \right\}^2 $$ この式を(＊)とする。

左辺は $1^3=1$, 右辺は $\left\{ \frac{1}{2}\cdot 1 \cdot (1+1) \right\}^2=1$ である。
ゆえに, $n=1$ のとき等式(＊)は成り立つ。

$n=\ell \geqq 1$ のとき, 等式(＊)が成り立つと仮定する。すなわち, $$ \sum_{k=1}^{\ell} k^3 = \left\{ \frac{1}{2}\ell(\ell+1) \right\}^2 $$ と仮定する。

$n=\ell+1$ のとき, (＊)の左辺を計算する： $$ \begin{aligned} &\sum_{k=1}^{\ell+1} k^3 \\ &= 1^3 + \cdots + \ell^3 + (\ell + 1)^3 \\ &= \left\{ \frac{1}{2}\ell(\ell+1) \right\}^2 + (\ell+1)^3 \\ &= \frac{1}{4}(\ell+1)^2 \left\{ \ell^2 + 4(\ell+1) \right\} \\ &= \frac{1}{4}(\ell+1)^2 (\ell^2 + 4\ell + 4) \\ &= \frac{1}{4}(\ell+1)^2 (\ell+2)^2 \\ &= \left\{ \frac{1}{2}(\ell+1)((\ell+1)+1) \right\}^2 \end{aligned} $$ この式は $n=\ell + 1$ のときの等式(＊)の右辺に一致する。

$n=\ell$ のときに等式(＊)が成り立つと仮定すると $n=\ell+1$ のときも成り立つことが示された。
ゆえに, 数学的帰納法により, すべての自然数 $n$ について $$ \sum_{k=1}^n k^3=\left\{ \frac{1}{2}n(n+1) \right\}^2 $$ が成り立つ。