$\displaystyle \sum_{k=1}^nk^4$ の公式の証明【二項定理の利用】

証明.

$(x+1)^5 - x^5$ $=5x^4$ $+ 10x^3$ $+ 10x^2$ $+5x$ $+1$ を利用して証明する.

$(x+1)^5$ $= x^5+5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1$

左辺について $x=1$ から $n$ までの和をとり, 簡単にすると,

$\displaystyle \sum_{x=1}^n((x+1)^5-x^5)$ $=(n+1)^5-1$

となる.

右辺の各項それぞれについて $x=1$ から $n$ までの和をとり, 計算していく.

(1) 第1項目の和は求めるべき公式の左辺（の5倍）に対応する:

$\displaystyle \sum_{x=1}^n 5x^4$ $\displaystyle =5\sum_{x=1}^n x^4$.

(2) 第2項目の和は $\{x^3\}$ の和の公式を利用して計算する:

$\displaystyle \sum_{x=1}^n x^3$ $\displaystyle = \frac{1}{4}n^2(n+1)^2$

$\displaystyle \sum_{x=1}^n 10x^3$ $\displaystyle =10 \times \frac{1}{4}n^2(n+1)^2$ $\displaystyle =\frac{5}{2}n^2(n+1)^2$.

(3) 第3項目の和は $\{x^2\}$ の和の公式を利用して計算する:

$\displaystyle \sum_{x=1}^n x^2$ $\displaystyle = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

$\displaystyle \sum_{x=1}^n 10x^2$ $\displaystyle =10 \times \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ $\displaystyle =\frac{5}{3}n(n+1)(2n+1)$.

(4) 第4項目の和は $\{x\}$ の和の公式を利用して計算する:

$\displaystyle \sum_{x=1}^n x$ $\displaystyle = \frac{1}{2}n(n+1)$

$\displaystyle \sum_{x=1}^n 5x$ $\displaystyle =5 \times \frac{1}{2}n(n+1)$ $\displaystyle =\frac{5}{2}n(n+1)$.

(5) 第5項目の和は定数列 $\{1\}$ の和の公式を利用して計算する:

$\displaystyle \sum_{x=1}^n 1$ $\displaystyle = n$

$\displaystyle \sum_{x=1}^n 1$ $\displaystyle =n$.

以上から, 次の等式が得られる.

$(n+1)^5-1$ $\displaystyle =5\sum_{x=1}^n x^4$ $\displaystyle +\frac{5}{2}n^2(n+1)^2$ $\displaystyle +\frac{5}{3}n(n+1)(2n+1)$ $\displaystyle +\frac{5}{2}n(n+1)$ $\displaystyle +n$.

これより,

$\displaystyle 5\sum_{x=1}^n x^4$ $=(n+1)^5$ $\displaystyle -\frac{5}{2}n^2(n+1)^2$ $\displaystyle -\frac{5}{3}n(n+1)(2n+1)$ $\displaystyle -\frac{5}{2}n(n+1)$ $\displaystyle -(n+1)$

$\displaystyle =\frac{1}{6}(n+1)$ $\{6(n+1)^4$ $\displaystyle -15n^2(n+1)$ $\displaystyle -10n(2n+1)$ $\displaystyle -15n$ $-6 \}$

$\displaystyle =\frac{1}{6}(n+1)$ $(6n^4$ $ + 9n^3$ $+n^2$ $-n )$

$\displaystyle =\frac{1}{6}n(n+1)$ $(6n^3$ $ + 9n^2$ $+n$ $-1 )$

$\displaystyle =\frac{1}{6}n(n+1)$ $(2n+1)$ $(3n^2 + 3n-1)$

である.

ゆえに,

$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^4$ $\displaystyle = \frac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2 + 3n-1)$

は成り立つ.