$\displaystyle \sum_{k=1}^nk=\frac{1}{2}n(n+1)$ の証明【二項定理の利用】
$\displaystyle \sum_{k=1}^n k = 1+2+\cdots +n$ が $\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)$ であることを二項定理を使って証明してみよう。
公式
$\displaystyle \sum_{k=1}^n k = \frac{1}{2}n(n+1)$
証明.
$(x+1)^2$ $= x^2 + 2x+1$ の展開式を
$(x+1)^2 - x^2$ $=2x + 1$
と変形したものを利用して公式を示す.
この式の左辺について $\displaystyle \sum_{x=1}^n$ を考えると,
$\displaystyle \sum_{x=1}^n((x+1)^2 - x^2)$
$=(2^2 - 1^2)$ $+(3^2 - 2^2)$ $+(4^2 - 3^2)$ $+ \cdots$ $+(n^2 - (n-1)^2)$ $+((n+1)^2 - n^2)$
となり, 正負が互いに逆な項を消去すると,
$(n+1)^2 - 1^2$
が残る. したがって, $\displaystyle \sum_{x=1}^n((x+1)^2 - x^2)$ $=n^2 + 2n$ である.
一方で, 右辺について $\displaystyle \sum_{x=1}^n$ を考えると,
$\displaystyle \sum_{x=1}^n(2x+1)$ $\displaystyle =2\sum_{x=1}^n x +\sum_{x=1}^n1$
である. 第2項目は定数和なので,
$\displaystyle \sum_{x=1}^n1 = n$
である. したがって, $\displaystyle \sum_{x=1}^n(2x+1)$ $\displaystyle =2\sum_{x=1}^nx + n$ である.
以上より,
$n^2+2n$ $\displaystyle =2\sum_{x=1}^nx + n$
を得る. この式を変形することで,
$\displaystyle \sum_{x=1}^n x=\frac{1}{2}(n^2 + 2n)$
が得られる.
ゆえに, $\displaystyle \sum_{k=1}^n k = \frac{1}{2}n(n+1)$ は成り立つ.
たとえば,
$n=3$ のとき,
① $1+2+3$
② $\displaystyle \frac{1}{2}\times 3 \times 4$
が公式の両辺で等しくなっています。