$\displaystyle \sum_{k=1}^nk=\frac{1}{2}n(n+1)$ の証明【二項定理の利用】

$\displaystyle \sum_{k=1}^n k = 1+2+\cdots +n$ が $\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)$ であることを二項定理を使って証明してみよう。

公式

$\displaystyle \sum_{k=1}^n k = \frac{1}{2}n(n+1)$

証明.

$(x+1)^2$ $= x^2 + 2x+1$ の展開式を

$(x+1)^2 - x^2$ $=2x + 1$

と変形したものを利用して公式を示す.

この式の左辺について $\displaystyle \sum_{x=1}^n$ を考えると,

$\displaystyle \sum_{x=1}^n((x+1)^2 - x^2)$

$=(2^2 - 1^2)$ $+(3^2 - 2^2)$ $+(4^2 - 3^2)$ $+ \cdots$ $+(n^2 - (n-1)^2)$ $+((n+1)^2 - n^2)$

となり, 正負が互いに逆な項を消去すると,

$(n+1)^2 - 1^2$

が残る. したがって, $\displaystyle \sum_{x=1}^n((x+1)^2 - x^2)$ $=n^2 + 2n$ である.

一方で, 右辺について $\displaystyle \sum_{x=1}^n$ を考えると,

$\displaystyle \sum_{x=1}^n(2x+1)$ $\displaystyle =2\sum_{x=1}^n x +\sum_{x=1}^n1$

である. 第2項目は定数和なので,

$\displaystyle \sum_{x=1}^n1 = n$

である. したがって, $\displaystyle \sum_{x=1}^n(2x+1)$ $\displaystyle =2\sum_{x=1}^nx + n$ である.

以上より,

$n^2+2n$ $\displaystyle =2\sum_{x=1}^nx + n$

を得る. この式を変形することで,

$\displaystyle \sum_{x=1}^n x=\frac{1}{2}(n^2 + 2n)$

が得られる.

ゆえに, $\displaystyle \sum_{k=1}^n k = \frac{1}{2}n(n+1)$ は成り立つ.

たとえば,

$n=3$ のとき,

① $1+2+3$

② $\displaystyle \frac{1}{2}\times 3 \times 4$

が公式の両辺で等しくなっています。

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