$\displaystyle \sum_{k=1}^nk=\frac{1}{2}n(n+1)$ の証明【数学的帰納法】
公式
$$\displaystyle \sum_{k=1}^n k = \frac{1}{2}n(n+1)$$
$\displaystyle \sum_{k=1}^n k = 1+2+\cdots +n$ が $\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)$ であることを数学的帰納法で証明してみよう。
例えば, $1+2+3 =\frac{1}{2}\cdot 3 \cdot (1+3)$ の両辺に4を加えてみると, 左辺は1から4の和になり, 右辺は $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 + 4$ について $\frac{1}{2}$ と $4$ でくくると $$\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot (3+2) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5$$ となり, これは $n=4$ のときの等式に一致します！
証明のイメージ
$$\begin{aligned}
&\frac{1}{2} n (n+1) + (n+1) \\
& = \frac{1}{2}n(n+1) + \frac{1}{2} (n+1)\cdot 2 \\
& = \frac{1}{2}(n+1)(n+2) \\
& = \frac{1}{2}(n+1)((n+1)+1) \\
\end{aligned}$$
公式. $\displaystyle \sum_{k=1}^nk=\frac{1}{2}n(n+1)$.
等式 $\displaystyle \sum_{k=1}^n k = \frac{1}{2}n(n+1)$ の両辺が, 任意の自然数 $n$ について等しいことを数学的帰納法によって証明する.
$n=1$ のとき, 左辺は $1$ であり, 右辺は $\frac{1}{2}\cdot 1 \cdot (1+1)=1$ である. ゆえに, $n=1$ のとき等式は成り立つ.
$n=\ell \geqq 1$ のとき, $\displaystyle \sum_{k=1}^{\ell} k = \frac{1}{2}\ell(\ell+1)$ と仮定する.
$n=\ell+1$ のとき, 等式の左辺 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\ell+1} k$ を計算して, 右辺である $\displaystyle \frac{1}{2}(\ell+1)\{(\ell+1)+1\}$ に変形する.
$$\begin{aligned}
\sum_{k=1}^{\ell+1} k & = 1 + 2 + \cdots + \ell + (\ell + 1) \\
&=\frac{1}{2} \ell (\ell + 1) + (\ell +1) \\
&= \frac{1}{2}(\ell + 1)(\ell + 2) \\
&= \frac{1}{2}(\ell + 1)\{(\ell + 1)+1\}
\end{aligned}$$
よって, $n=\ell$ のとき等式が成り立つと仮定すると, $n=\ell+1$ のときも等式が成り立つことが示せた.
数学的帰納法により, すべての自然数 $n$ について, 等式 $\displaystyle \sum_{k=1}^n k = \frac{1}{2}n(n+1)$ は成り立つ.
