$\displaystyle \sum_{k=1}^nk=\frac{1}{2}n(n+1)$ の証明【数学的帰納法】
$1$ から $n$ までの自然数の総和は, 次の式で表される。 $$ \sum_{k=1}^n k= \frac{1}{2}n(n+1) $$
すべての自然数 $n$ について, 次の等式が成り立つことを証明する。 $$ \sum_{k=1}^n k = \frac{1}{2}n(n+1) \quad \cdots (\text{＊}) $$
左辺は $1$, 右辺は $\frac{1}{2}\cdot 1 \cdot (1+1) = 1$ である。
ゆえに, $n=1$ のとき等式(＊)は成り立つ。
$n=\ell \geqq 1$ のとき, 等式(＊)が成り立つと仮定する。すなわち, $$ \sum_{k=1}^{\ell} k = \frac{1}{2}\ell(\ell+1) $$ が成り立つと仮定する。
$n=\ell+1$ のとき, (＊)の左辺を計算すると： $$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{\ell+1} k &= (1 + 2 + \cdots + \ell) + (\ell + 1) \\ &= \frac{1}{2}\ell(\ell+1) + (\ell+1) \\ &= \frac{1}{2}(\ell+1)(\ell + 2) \\ &= \frac{1}{2}(\ell+1)\{(\ell+1)+1\} \end{aligned} $$ となり, $n=\ell+1$ のときの(＊)の右辺に一致する。
$n=\ell$ のときに等式(＊)が成り立つと仮定すると $n=\ell+1$ のときも成り立つことが示された。
ゆえに, 数学的帰納法により, すべての自然数 $n$ について
$$ \sum_{k=1}^n k = \frac{1}{2}n(n+1) $$
は成り立つ。
