数列の和の記号の線形性の証明
数列の和の記号 $\displaystyle \sum_{k=1}^n$ に関する線形性を証明してみよう。
命題
数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$, 定数 $p$ と $q$ について,
$\displaystyle \sum_{k=1}^n(pa_k + qb_k) = p \sum_{k=1}^n a_k + q \sum_{k=1}^n b_k$
証明.
数列の和の記号 $\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$ と $\displaystyle \sum_{k=1}^n b_k$ の定義は
$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$ $=a_1 + \cdots + a_n$,
$\displaystyle \sum_{k=1}^n b_k$ $=b_1 + \cdots + b_n$
であった.
また, $\displaystyle \sum_{k=1}^n(pa_k + qb_k)$ は
$(pa_1 + qb_1)$ $+(pa_2 + qb_2)$ $+\cdots$ $+(pa_n + qb_n)$
を意味する. この式は
$p(a_1+\cdots + a_n)$ $+q(b_1+\cdots+b_n)$
と並び替えることができる.
ゆえに,
$\displaystyle \sum_{k=1}^n(pa_k + qb_k) = p \sum_{k=1}^n a_k + q \sum_{k=1}^n b_k$
が成り立つ.
$a_n=2n-1$,
$b_n=2n$
のとき,
$\displaystyle \sum_{k=1}^3(a_k+b_k)$ $=(1+2)$ $+(3+4)$ $+(5+6)$
であり,
$\displaystyle \sum_{k=1}^3a_k + \sum_{k=1}^3b_k$ $=(1+3+5)$ $+(2+4+6)$
である。
