等比数列の和の公式【数学的帰納法】

$r \neq 1$ とするとき, すべての自然数 $n$ について次の等式(＊)が成り立つことを証明する。 $$ \sum_{k=1}^n ar^{k-1} = \frac{a(r^n-1)}{r-1}$$

左辺は $ar^{1-1} = a$ である。
右辺は $\frac{a(r^1-1)}{r-1} = a$ である。
ゆえに, $n=1$ のとき等式(＊)は成り立つ。

$n=\ell$ のとき, 等式(＊)が成り立つと仮定する。すなわち, $$ \sum_{k=1}^\ell ar^{k-1} = \frac{a(r^\ell-1)}{r-1} $$ が成り立つとする。

$n=\ell+1$ のときの左辺を計算し, 仮定の式を代入して整理する。 $$ \begin{aligned} &\sum_{k=1}^{\ell+1} ar^{k-1} \\ &= \left( \sum_{k=1}^\ell ar^{k-1} \right) + ar^\ell \\[8pt] &= \frac{a(r^\ell-1)}{r-1} + ar^\ell \\ &= \frac{a(r^\ell-1) + ar^\ell(r-1)}{r-1} \\[8pt] &= \frac{a \{ r^\ell - 1 + r \cdot r^\ell - r^\ell \}}{r-1} \\[8pt] &= \frac{a(r^{\ell+1}-1)}{r-1} \end{aligned} $$ となり, $n=\ell+1$ のときも等式(＊)は成り立つ。

以上より, 数学的帰納法によって, すべての自然数 $n$ について $$ \sum_{k=1}^n ar^{k-1} = \frac{a(r^n-1)}{r-1} $$ が成り立つ。