等比数列の和の公式【数学的帰納法】

公式. $r \neq 1$, $a$ を定数とする. $\displaystyle \sum_{k=1}^n ar^{k-1}= \frac{a(r^n-1)}{r-1}$ である.

等式 $\displaystyle \sum_{k=1}^n ar^{k-1}= \frac{a(r^n-1)}{r-1}$ の両辺が, 任意の自然数 $n$ について等しいことを数学的帰納法によって証明する.

$n=1$ のとき, 左辺は $a$ であり, 右辺は $\frac{a(r-1)}{r-1}=a$ である. ゆえに, $n=1$ のとき等式は成り立つ.

$n=\ell \geqq 1$ のとき, $\displaystyle \sum_{k=1}^\ell ar^{k-1}= \frac{a(r^\ell-1)}{r-1}$ と仮定する.

$n=\ell+1$ のとき, 等式の左辺 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\ell+1} ar^{k-1}$ を計算して, 右辺である $\displaystyle \frac{a(r^{\ell+1}-1)}{r-1}$ に変形する.

$$\begin{aligned}
\sum_{k=1}^{\ell+1} ar^{k-1} & = a + ar + \cdots + ar^{\ell-1} + ar^\ell \\
&=\frac{a(r^\ell-1)}{r-1} + ar^\ell \\
&=\frac{a(r^\ell-1)}{r-1} +\frac{ar^\ell(r-1)}{r-1} \\
&=\frac{a \{ (r^\ell-1)+(r-1)r^\ell \}}{r-1} \\
&=\frac{a \{ r^\ell+(r-1)r^\ell -1\}}{r-1} \\
&=\frac{a \{ r \cdot r^\ell -1\}}{r-1} \\
&=\frac{a (r^{\ell+1} -1)}{r-1}
\end{aligned}$$

よって, $n=\ell$ のとき等式が成り立つと仮定すると, $n=\ell+1$ のときも等式が成り立つことが示せた.

数学的帰納法により, すべての自然数 $n$ について, 等式 $\displaystyle \sum_{k=1}^n ar^{k-1}= \frac{a(r^n-1)}{r-1}$ は成り立つ.