$\displaystyle \tan^2 \theta +1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$【三角比の相互関係】
三角比の相互関係の公式 $\displaystyle \tan^2 \theta +1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ を証明してみよう。
公式
$\displaystyle \tan^2 \theta +1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$
証明.
次の2つの公式を仮定する.
$\displaystyle \sin^2 \theta + \cos^2 \theta =1$,
$\displaystyle \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
上の式の両辺を $\cos^2 \theta$ で割ると,
$\displaystyle \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} + \frac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta} = \frac{1}{\cos^2\theta}$ $\Leftrightarrow \displaystyle \left( \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \right)^2 +1 = \frac{1}{\cos^2\theta}$
となる. 仮定した2つ目の式を利用して, 第1項目を $\tan^2 \theta$ に置き換えることができる.
ゆえに, $\displaystyle \tan^2 \theta +1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ が成り立つ.
$\theta = 30^{\circ}$ のときは,
$\displaystyle \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\displaystyle \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$
であり,
$\tan^2 \theta +1$ $\displaystyle = \frac{1}{3} +1$ $\displaystyle =\frac{4}{3}$
であり,
$1 \div \cos^2 \theta$ $\displaystyle = 1 \div \frac{\sqrt{3}}{4}$ $\displaystyle =\frac{4}{3}$
になります。
