$\displaystyle \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$【三角比の相互関係】
三角比の相互関係の公式 $\displaystyle \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を, 直角三角形による定義から証明してみよう。
公式
$0^{\circ}<\theta <90^{\circ}$ であるとき,
$\displaystyle \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
証明.
次の直角三角形 $\mathrm{ABC}$ を想定する.
正弦と余弦の定義より,
$\displaystyle \sin \theta = \frac{a}{c}$, $\displaystyle \cos \theta = \frac{b}{c}$
であった. 示すべき式の右辺を計算すると,
$\displaystyle \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ $=\sin \theta \div \cos \theta$ $\displaystyle =\frac{a}{c} \div \frac{b}{c}$ $\displaystyle = \frac{a}{b}$
となる. この式は正接の定義に一致する.
$\displaystyle \tan \theta = \frac{a}{b}$
ゆえに, $\displaystyle \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ が成り立つ.
$\theta = 30^{\circ}$ のときは,
$\displaystyle \sin \theta = \frac{1}{2}$
$\displaystyle \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\displaystyle \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$
であり,
$\sin \theta \div \cos \theta$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \div \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{3}}$
になります。
