トーラスの方程式 $(\sqrt{x^2+y^2}- R)^2 + z^2 = r^2$ の証明
トーラスの媒介変数表示の式を理解してみよう。
方程式
$R > r > 0$ とする. このとき, トーラスの方程式は
$(\sqrt{x^2+y^2}- R)^2 + z^2 = r^2$
である.
証明.
トーラスの媒介変数表示から方程式を導く.
トーラスを媒介変数 $\theta$ と $\varphi$ を用い, 媒介変数表示すると,
$\left\{\begin{aligned}
x &= (R + r \cos \theta) \cos \varphi \\
y &= (R + r \cos \theta) \sin \varphi \\
z &= r \sin \theta
\end{aligned} \right.$
と表せた.
媒介変数表示を利用して計算すると,
$x^2 + y^2$ $=(R+r\cos \theta)^2 \cos^2 \varphi$ $+(R+r\cos \theta)^2 \sin^2 \varphi$ $=(R+r\cos \theta)^2$
を得られる. $R>r$ より, $R+r\cos \theta >0$ である. また, $x^2 + y^2 > 0$ である.
これより, $\sqrt{x^2+y^2} = R + r\cos \theta$ を得る.
したがって, 連立方程式
$\left\{\begin{aligned}
\sqrt{x^2+y^2} -R &= r \cos \theta \\
z &= r \sin \theta
\end{aligned} \right.$
から $\theta$ を消去すれば,
$(\sqrt{x^2+y^2}- R)^2 + z^2 = r^2$
を得る.
ゆえに, $R > r > 0$ とすると
$(\sqrt{x^2+y^2}- R)^2 + z^2 = r^2$
はトーラスの方程式を表す.
大円の半径 $2$,
（正確には $1 \sim 3$）
小円の半径 $1$
のトーラスです。
