トーラスの媒介変数表示の式
トーラスの媒介変数表示の式を理解してみよう。
媒介変数表示
$R>r > 0$, $0 \leq \theta, \varphi < 2 \pi$ とすると, 次の式はトーラスを表す:
$\left\{\begin{aligned}
x &= (R + r \cos \theta) \cos \varphi \\
y &= (R + r \cos \theta) \sin \varphi \\
z &= r \sin \theta
\end{aligned} \right.$
証明.
$xz$ 平面上で半径 $r$ の円周を $xy$ 平面に平行な方向に原点中心に回転することで, トーラスを作成する.
トーラス上のループには名称があった.
$xz$ 平面内で 中心が $(x,z)=(R,0)$ で半径 $r$ の円周は媒介変数 $\theta$ を利用して,
$(x,z)=(R+r\cos \theta, r \sin \theta)$
と表すことができる. ここで, $0 \leq \theta < 2\pi$ が必要である.
この円周上の点を$xz$ 平面に平行な平面で原点中心の回転を行う. この回転角を $0 \leq \varphi < 2 \pi$ とする.
変数 $\theta$ を固定して, $(x,z)=(R+r\cos \theta, r \sin \theta)$ を $xy$ 平面と平行な平面内で原点中心の回転すると
$(x,y)$ $= ((R+r\cos\theta)\cos \varphi, (R+r\cos\theta)\sin \varphi)$, $z = r \sin \theta$
となる.
以上より回転角の変数の $\theta$ と $\varphi$ を動かせば, トーラスが得られることが分かる.
ゆえに, $R>r > 0$, $0 \leq \theta, \varphi < 2 \pi$ とすると,
$\left\{\begin{aligned}
x &= (R + r \cos \theta) \cos \varphi \\
y &= (R + r \cos \theta) \sin \varphi \\
z &= r \sin \theta
\end{aligned} \right.$
はトーラスの媒介変数表示を表す.
大円の半径 $2$,
（正確には $1 \sim 3$）
小円の半径 $1$
のトーラスです。
