$90^{\circ} + \theta$ の三角比の公式の証明
三角比 $\sin(90^{\circ} + \theta)$, $\cos(90^{\circ} + \theta), \tan(90^{\circ} + \theta)$ の公式を証明してみよう。
公式
$0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ のとき,
$\sin(90^{\circ}+ \theta)=\cos \theta$,
$\cos(90^{\circ} + \theta)=-\sin \theta$,
$\displaystyle \tan(90^{\circ} + \theta) = -\frac{1}{\tan\theta}$
証明.
それぞれの三角比の定義は
$\displaystyle \sin \theta = y$,
$\displaystyle \cos \theta = x$,
$\displaystyle \tan \theta = \frac{y}{x}$
である.
$90^{\circ}+\theta$ の三角比は次の図
を参考にして
$\displaystyle \sin (90^{\circ}+\theta) = x$,
$\displaystyle \cos (90^{\circ}+\theta) = -y$,
$\displaystyle \tan (90^{\circ}+\theta) = \frac{x}{-y}$
となる.
ゆえに, $0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ のとき,
$\sin(90^{\circ}+ \theta)=\cos \theta$,
$\cos(90^{\circ} + \theta)=-\sin \theta$,
$\displaystyle \tan(90^{\circ} + \theta) = -\frac{1}{\tan\theta}$
が成り立つ.
$\theta = 30^{\circ}$ のときは,
$\displaystyle \sin \theta = \frac{1}{2}$
$\displaystyle \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\displaystyle \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$
であり,
$90^{\circ}+\theta$ $=120^{\circ}$ の三角比は
$\sin(90^{\circ}+\theta)$ $\displaystyle = \frac{1}{2}$
$\cos (90^{\circ}+\theta)$ $\displaystyle = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\tan (90^{\circ}+\theta)$ $ = -\sqrt{3}$
になってます。
