余角 $90^{\circ} - \theta$ の三角比の公式の証明
$\theta$ の余角の三角比 $\sin(90^{\circ} - \theta)$, $\cos(90^{\circ} - \theta), \tan(90^{\circ} - \theta)$ の公式を証明してみよう。
公式
$0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ のとき,
$\sin(90^{\circ}- \theta)=\cos \theta$,
$\cos(90^{\circ} - \theta)=\sin \theta$,
$\displaystyle \tan(90^{\circ} - \theta) = \frac{1}{\tan\theta}$
証明.
それぞれの三角比の定義は
$\displaystyle \sin \theta = \frac{a}{c}$,
$\displaystyle \cos \theta = \frac{b}{c}$,
$\displaystyle \tan \theta = \frac{a}{b}$
である.
$90^{\circ}-\theta= \angle \mathrm{ABC}$ であるから, 余角の三角比は次の図
を参考にして
$\displaystyle \sin (90^{\circ}-\theta) = \frac{b}{c}$,
$\displaystyle \cos (90^{\circ}-\theta) = \frac{a}{c}$,
$\displaystyle \tan (90^{\circ}-\theta) = \frac{b}{a}$
となる.
ゆえに, $0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ のとき,
$\sin(90^{\circ}- \theta)=\cos \theta$,
$\cos(90^{\circ} - \theta)=\sin \theta$,
$\displaystyle \tan(90^{\circ} - \theta) = \frac{1}{\tan\theta}$
が成り立つ.
$\theta = 30^{\circ}$ のときは,
$\displaystyle \sin \theta = \frac{1}{2}$
$\displaystyle \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\displaystyle \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$
であり,
余角 $90^{\circ}-\theta$ $=60^{\circ}$ の三角比は
$\sin(90^{\circ}-\theta)$ $\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos (90^{\circ}-\theta)$ $\displaystyle = \frac{1}{2}$
$\tan (90^{\circ}-\theta)$ $ = \sqrt{3}$
になってます。
