補角 $180^{\circ} - \theta$ の三角比の公式の証明
$\theta$ の補角の三角比 $\sin(180^{\circ} - \theta)$, $\cos(180^{\circ} - \theta)$, $\tan(180^{\circ} - \theta)$ の公式を証明してみよう。
公式
$0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ のとき,
$\sin(180^{\circ}- \theta)=\sin \theta$,
$\cos(180^{\circ} - \theta)=-\cos \theta$,
$\displaystyle \tan(180^{\circ} - \theta) = - \tan\theta$
証明.
それぞれの三角比の定義は
$\displaystyle \sin \theta = y$,
$\displaystyle \cos \theta = x$,
$\displaystyle \tan \theta = \frac{y}{x}$
である.
補角 $180^{\circ}-\theta$ の三角比は次の図
を参考にして
$\displaystyle \sin (90^{\circ}-\theta) = y$,
$\displaystyle \cos (90^{\circ}-\theta) = -x$,
$\displaystyle \tan (90^{\circ}-\theta) = \frac{y}{-x}$
となる.
ゆえに, $0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ のとき,
$\sin(180^{\circ}- \theta)=\sin \theta$,
$\cos(180^{\circ} - \theta)=-\cos \theta$,
$\displaystyle \tan(180^{\circ} - \theta) = -\tan\theta$
が成り立つ.
$\theta = 150^{\circ}$ のときは,
$\sin \theta$ $\displaystyle = \frac{1}{2}$
$\cos \theta$ $\displaystyle = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\tan \theta$ $\displaystyle = -\frac{1}{\sqrt{3}}$
であり,
補角 $180^{\circ}-\theta$ $=30^{\circ}$ の三角比は
$\sin (180^{\circ}-\theta)$ $\displaystyle = \frac{1}{2}$
$\cos (180^{\circ}-\theta)$ $\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\tan (180^{\circ}-\theta)$ $\displaystyle = \frac{1}{\sqrt{3}}$
になってます。
