分散の定義（離散型確率変数）
離散的な場合で, 統計量である分散 $V[X]$ の定義を学んでみよう！
定義
次の $V[X]$ を離散的な確率変数 $X$ の分散という:$$V[X] = (x_1-\mu)^2p_1 + \cdots + (x_n-\mu)^2p_n$$
ただし, $\mu$ を確率変数 $X$ の期待値 $E[X]$ とする。
ここで確率変数 $X$ は, $1 \leqq i \leqq n$ について $P(X = x_i) =p_i$ を満たすものとする。
| $X$ | $x_1$ | $\cdots$ | $x_n$ | 計 |
| 確率 | $p_1$ | $\cdots$ | $p_n$ | $1$ |
次の確率分布の場合
| $X$ | $1$ | $2$ | $3$ | 計 |
| 確率 | $\displaystyle \frac{1}{4}$ | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | $\displaystyle \frac{1}{4}$ | $1$ |
この平均（期待値）は $2$ である。
この分散は
$\displaystyle (1-2)^2 \cdot \frac{1}{4}$ $\displaystyle + (2-2)^2 \cdot \frac{2}{4}$ $\displaystyle + (3-2)^2 \cdot \frac{1}{4}$
であり,
$\displaystyle V[X]=\frac{1}{2}$
である。
