分散の公式 $s_x^2=\overline{x^2}-\bar{x}^2$
分散 $s_x^2$ が期待値を使って $\overline{x^2}-\bar{x}^2$ で表されることを証明してみよう。
公式
データ $x$ の分散 $s_x^2$ について,
$s_x^2=\overline{x^2}-\bar{x}^2$
が成り立つ. ただし, データ $x$ と $x^2$ の平均値を $\bar{x}$ と $\overline{x^2}$ とする.
証明.
分散の定義式を計算する.
$\displaystyle s_x^2=\frac{(x_1 - \bar{x})^2+\cdots + (x_n - \bar{x})^2}{n}$
$s_x^2$ $\displaystyle =\frac{x_1^2+\cdots + x_n^2}{n}$ $\displaystyle -\frac{2\bar{x}(x_1+\cdots + x_n)}{n}$ $\displaystyle +\frac{\bar{x}^2+\cdots + \bar{x}^2}{n}$
$\displaystyle \bar{x}^2=\frac{x_1 +\cdots + x_n}{n}$
$s_x^2$ $\displaystyle =\frac{x_1^2+\cdots + x_n^2}{n}$ $\displaystyle -2\bar{x}^2$ $\displaystyle +\bar{x}^2$ $\displaystyle =\frac{x_1^2+\cdots + x_n^2}{n}$ $\displaystyle -\bar{x}^2$
$\displaystyle \overline{x^2}=\frac{x_1^2 +\cdots + x_n^2}{n}$
$s_x^2$ $=\overline{x^2}$ $-\bar{x}^2$
となる.
ゆえに, $s_x^2$ $=\overline{x^2}$ $-\bar{x}^2$ が成り立つ.
たとえば,
$x=[1, 2, 3]$
のとき,
$x^2=[1^2, 2^2, 3^2]$
であり,
$\bar{x}=2$,
$\displaystyle \overline{x^2}=\frac{14}{3}$
なので,
$s_x^2$ $\displaystyle =\frac{14}{3}-2^2$ $\displaystyle =\frac{2}{3}$
となります。
