正規分布 $N(\mu,\sigma^2)$ の分散が $\sigma^2$ であることの証明
正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ の分散が $\sigma^2$ であることを確かめてみよう。
命題
正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ に従う確率変数 $X$ について,
$V[X] = \sigma^2$
が成り立つ.
証明.
正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ の確率密度関数は次の通りであった.
$f(x)$ $\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $
この期待値は $E[X]=\mu$ であった.
分散 $V[X]$ の定義を実際に計算すると,
$\begin{aligned}
& V[X] \\
& =\int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^2f(x) dx \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} (x-\mu)^2e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx
\end{aligned}$
となる. ここで, $\displaystyle z = \frac{x-\mu}{\sigma}$ と変数変換を行う.
$\sigma dz=dx$ であり, $z$ は $-\infty$ から $\infty$ を動く.
よって, $V[X]$ は次のようになる.
$V[X]$ $\displaystyle = \sigma^2 \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} z^2e^{-\frac{z^2}{2}} dz$
$\left( e^{-\frac{z^2}{2}} \right)' = -z e^{-\frac{z^2}{2}}$ であることから,
$\displaystyle \int z e^{-\frac{z^2}{2}} dz= -e^{-\frac{z^2}{2}}+C$
であることに注意する.( $C$ は積分定数.)
上の積分を部分積分により計算する.
$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} z \left( ze^{-\frac{z^2}{2}} \right) dz$
$\displaystyle = \left[ \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} z \left(-e^{-\frac{z^2}{2}}\right) \right]_{-\infty}^{\infty} dz$ $\displaystyle -\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} (z)' \left(-e^{-\frac{z^2}{2}}\right) dz$
$\displaystyle = 0$ $\displaystyle +\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} dz$
ここで, 第2項目の被積分関数は標準正規分布の確率密度関数であるための積分値は $1$ である.
ゆえに, $V[X] = \sigma^2$ が成り立つ.
$N(50, 10^2)$ では, 分散は $100$ です。
標準正規分布 $N(0,1^2)$ では, 分散は $1$ です。
