分散の公式 $V[X]=E[X^2]-E[X]^2$ 【離散型確率変数】
分散 $V[X]$ が期待値を使って $E[X^2]-E[X]^2$ で表されることを証明してみよう。
公式
$X$ を確率変数とする.
$V[X] = E[X^2] - E[X]^2$
証明.
確率変数 $X$ の取りうる値を $x_1, \ldots, x_n$ とし, それぞの確率を $p_1, \ldots, p_n$ とする. なお, $\displaystyle \sum_{i=1}^n p_i=1$ である.
分散 $V[X]$ と期待値 $E[X]$ と $E[X^2]$ の定義を整理する. なお, $\mu = E[X]$ とする.
$\displaystyle V[X] =\sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2p_i$
$\displaystyle E[X] =\sum_{i=1}^n x_i p_i$
$\displaystyle E[X^2] =\sum_{i=1}^n x_i^2 p_i$
分散の定義を計算して, 公式を導く.
$(x_i-\mu)^2$ $=x_i^2 - 2\mu x_i + \mu^2$ より,
$\begin{aligned}
&V[X] \\
\displaystyle &=\sum_{i=1}^n (x_i^2 - 2\mu x_i + \mu^2)p_i \\ &= \sum_{i=1}^n x_i^2 p_i -2 \mu \sum_{i=1}^n x_ip_i + \mu^2 \sum_{i=1}^n p_i \\
&= E[X^2] -2 \mu E[X] + \mu^2 \cdot 1.
\end{aligned}$
$\mu = E[X]$ より, 上式は $E[X^2] -2 E[X] \cdot E[X] + E[X]^2$ $=E[X^2]-E[X]^2$ となる.
ゆえに, $V[X^2] = E[X^2]-E[X]^2$ である.
確率分布が
| $X$ | $1$ | $2$ |
| $X^2$ | $1$ | $4$ |
| 確率 | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | $\displaystyle \frac{1}{2}$ |
のとき,
$E[X]$ $\displaystyle =1 \cdot \frac{1}{2}$ $\displaystyle +2\cdot \frac{1}{2}$ $\displaystyle =\frac{3}{2}$.
$E[X^2]$ $\displaystyle =1^2 \cdot \frac{1}{2}$ $\displaystyle +2^2\cdot \frac{1}{2}$ $\displaystyle =\frac{5}{2}$.
よって, $E[X^2]-E[X]^2$ $\displaystyle =\frac{5}{2} - \left(\frac{3}{2} \right)^2$ $\displaystyle =\frac{1}{4}$.
また, $V[X]$ $\displaystyle =\left(1 - \frac{3}{2} \right)^2 \cdot \frac{1}{2}$ $\displaystyle +\left(2 - \frac{3}{2} \right)^2 \cdot \frac{1}{2}$ $\displaystyle =\frac{1}{8}+ \frac{1}{8}$ $\displaystyle =\frac{1}{4}$.
になります。
