標本平均の分散について
母集団の分散が $\sigma^2$ のとき, 標本平均の分散は $\displaystyle \frac{\sigma^2}{n}$ になることを示してみよう。
命題
母集団分布 $D$ の分散を $\sigma^2$ とする. $D$ に従う独立な確率変数 $X_1$, $X_2$, $\cdots$, $X_n$ の標本平均
$\displaystyle \overline{X}_n = \frac{1}{n}(X_1 + \cdots + X_n)$
について, 分散は
$\displaystyle V[\overline{X}_n] = \frac{\sigma^2}{n}$
が成り立つ.
証明.
独立な確率変数 $X$ と $Y$, 実数 $a$ と $b$ について,
$V[aX+bY]=a^2V[X]+b^2V[Y]$
が成り立った.
したがって,
$\displaystyle V[\overline{X}_n]$ $\displaystyle = V\left[\frac{1}{n}(X_1 + \cdots + X_n)\right]$ $\displaystyle = \frac{1}{n^2}(V[X_1] + \cdots + V[X_n])$
となる. ここで, それぞれの確率変数は分散 $\sigma^2$ の確率分布に従うため,
$V[X_1] = V[X_2] = \cdots =V[X_n] = \sigma^2$
である.
ゆえに, $\displaystyle V[\overline{X}_n] = \frac{\sigma^2}{n}$ が成り立つ.
母集団の分散が $36$ ならば,
$V[\overline{X}_1] = 36$,
$V[\overline{X}_2] = 18$,
$V[\overline{X}_3] = 12$
です。
