$V[XY]$ の公式（独立な確率変数）
独立である確率変数 $X$ と $Y$ の積の分散 $V[XY]$ を計算する公式を証明してみよう。
公式
独立な確率変数 $X$ と $Y$ について,
$V[XY]$ $=(V[X]+E[X]^2)(V[Y]+E[Y]^2)$ $-(E[X] E[Y])^2$
$=V[X] V[Y]$ $+V[X] E[Y]^2$ $+E[X]^2 V[Y]$
が成り立つ.
証明.
分散を求める公式
$V[XY]$ $=E[(XY)^2] - E[XY]^2$
から出発して計算していく.
確率変数の積の期待値について
$A$ と $B$ を独立な確率変数とすると,
$E[AB]$ $=E[A] E[B]$.
であるから,
$\begin{aligned}
& E[(XY)^2] - E[XY]^2 \\
&= E[X^2Y^2] - (E[X]E[Y])^2 \\
&= E[X^2]E[Y^2] - E[X]^2E[Y]^2
\end{aligned}$
と計算することができる.（ $X$ と $Y$ が独立であれば, $X^2$ と $Y^2$ も独立である. ）
分散の公式から
$E[X^2]=V[X]+E[X]^2$,
$E[Y^2]=V[Y] +E[Y]^2$.
以上より,
$E[X^2]E[Y^2] - E[X]^2E[Y]^2$ $= (V[X]+E[X]^2) (V[Y] +E[Y]^2)$ $- E[X]^2E[Y]^2$
を得る. この式を展開すると,
$V[X]V[Y]$ $+V[X]E[Y]^2$ $+E[X]^2 V[Y]$ $+E[X]^2E[Y]^2$ $- E[X]^2E[Y]^2$
$=V[X]V[Y]$ $+V[X]E[Y]^2$ $+E[X]^2 V[Y]$.
ゆえに,
$V[XY]$ $=(V[X]+E[X]^2)(V[Y]+E[Y]^2)$ $-(E[X] E[Y])^2$
$=V[X] V[Y]$ $+V[X] E[Y]^2$ $+E[X]^2 V[Y]$
が成り立つ.
$E[X]=-2$ かつ $V[X] = 2$, $E[Y]=1$ かつ $V[Y]=3$ であって, 確率変数 $X$ と $Y$ が独立であれば,
$V[XY]$
$=2 \cdot 3$ $+2 \times 1^2$ $+(-2)^2 \times 3$
$=20$
になる。
