$(x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}y + \cdots - xy^{n-2} +y^{n-1})$ の展開の計算
$(x+y)$ $(x^{n-1}$ $-x^{n-2}y$ $+ \cdots$ $-xy^{n-2} $ $+y^{n-1})$ の展開の公式（ $n$ が奇数のときのみ）を習得してみよう。
式の展開公式
$(x+y)$ $(x^{n-1}$ $-x^{n-2}y$ $+ \cdots$ $-xy^{n-2}$ $+y^{n-1})$ $= x^n + y^n$
ただし, $n$ は奇数とする.
※ $n$ が偶数の場合は $x^{n-1}$, $x^{n-2}y$, $\cdots$, $xy^{n-2}$, $y^{n-1}$ の係数が正負交互であると $y^{n-1}$ の係数を正にすることができない. $n$ が奇数のときのみ今回の式が定義できる.
証明.
$(x+y)$ $(x^{n-1}$ $-x^{n-2}y$ $+ \cdots$ $-xy^{n-2}$ $+y^{n-1})$ について, $x+y$ を $x$ と $y$ に分割して, それぞれ展開して和を計算する.
$x$ と $x^{n-1}$ $-x^{n-2}y$ $+ \cdots$ $-xy^{n-2}$ $+y^{n-1}$ の積は
$x^n-x^{n-1}y + \cdots -x^2y^{n-2} +xy^{n-1}$
である.
$y$ と $x^{n-1}$ $-x^{n-2}y$ $+ \cdots$ $-xy^{n-2}$ $+y^{n-1}$ の積は
$x^{n-1}y + \cdots +x^2y^{n-2} -xy^{n-1} +y^{n}$
である.
これらの和は $x^n + y^n$ である.
ゆえに,
$(x+y)$ $(x^{n-1}$ $-x^{n-2}y$ $+ \cdots$ $-xy^{n-2}$ $+y^{n-1})$ $= x^n + y^n$
が成立する.
例えば,
$(x+1)$ $(x^4$ $-x^3$ $+x^2$ $-x$ $+1)$
$= x^5$ $+1$
です。
