$(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y + \cdots +y^{n-1})$ の展開の計算
$(x-y)$ $(x^{n-1}$ $+x^{n-2}y$ $+ \cdots$ $+xy^{n-2} $ $+y^{n-1})$ の展開の公式を習得してみよう。
式の展開公式
$(x-y)$ $(x^{n-1}$ $+x^{n-2}y$ $+ \cdots$ $+xy^{n-2}$ $+y^{n-1})$ $= x^n - y^n$
証明.
$(x-y)$ $(x^{n-1}$ $+x^{n-2}y$ $+ \cdots$ $+xy^{n-2} $ $+y^{n-1})$ について, $x-y$ を $x$ と $-y$ に分割して, それぞれ展開して和を計算する.
$x$ と $x^{n-1}$ $+x^{n-2}y$ $+ \cdots$ $+xy^{n-2}$ $+y^{n-1}$ の積は
$x^n+x^{n-1}y + \cdots +x^2y^{n-2} +xy^{n-1}$
である.
$-y$ と $x^{n-1}$ $+x^{n-2}y$ $+ \cdots$ $+xy^{n-2}$ $+y^{n-1}$ の積は
$-x^{n-1}y - \cdots -x^2y^{n-2} -xy^{n-1} -y^{n}$
である.
これらの和は $x^n - y^n$ である.
ゆえに,
$(x-y)$ $(x^{n-1}$ $+x^{n-2}y$ $+ \cdots$ $+xy^{n-2}$ $+y^{n-1})$
が成立する.
例えば,
$(x-1)$ $(x^3$ $+x^2$ $+x$ $+1)$
$= x^4$ $+1$
です。
