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単元のまとめ

確率分布の独立性

話題

同時確率分布は, 2つの変数によって定まる確率分布である.

$y_1$$y_2$$\cdots$$y_m$
$x_1$$p_{11}$$p_{12}$$\cdots$$p_{1m}$$p_1$
$x_2$$p_{21}$$p_{22}$$\cdots$$p_{2m}$$p_2$
$\vdots$$\vdots$$\vdots$$\ddots$$\vdots$$\vdots$
$x_n$$p_{n1}$$p_{n2}$$\cdots$$p_{nm}$$p_n$
$q_1$$q_2$$\cdots$$q_m$$1$

定義

$p_i q_j = p_{ij}$ が成り立つとき,$X$ と $Y$ は独立という.

独立性と期待値

  1. $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$(いつでも成立)
  2. $E(XY) = E(X)E(Y)$(独立なとき)

独立性と分散

  1. $V(X+Y) = V(X) + V(Y)$(独立なとき)
  2. $V(XY)=V(X)V(Y)$(??)

計算

同時確率分布は2方向に延びる確率分布を持つ.

$y_1$$y_2$
$x_1$$p_{11}$$p_{12}$$p_1$
$x_2$$p_{21}$$p_{22}$$p_2$
$q_1$$q_2$$1$
2×2の同時分布

次の2つは確率分布になる.

$X$$x_1$$x_2$$\cdots$$x_n$
$P$$p_1$$p_2$$\cdots$$p_n$$1$

$Y$$y_1$$y_2$$\cdots$$y_m$
$P$$q_1$$q_2$$\cdots$$q_m$$1$

豆知識

独立かは確率分布を見れば, すぐに判断できる.

独立である
独立ではない

独立性と統計量の関係

独立性と期待値の関係

☆ 期待値について次式が成り立つ:

・$E(X+Y) = E(X) + E(Y)$
・$E(XY) = E(X)E(Y)$(独立なとき)

$y_1$$y_2$
$x_1$$p_{11}$$p_{12}$$p_1$
$x_2$$p_{21}$$p_{22}$$p_2$
$q_1$$q_2$$1$

確率変数の和の期待値

$E(X+Y) = E(X) + E(Y)$

※確率変数 $X+Y$ は,2次元の確率分布から,1つの実数値を返す関数と理解できる。

$$\begin{array}{cl}
E(X+Y) &=& \displaystyle \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} (x_i + y_j)p_{ij} \\
&=& \displaystyle \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} (x_i p_{ij} + y_j p_{ij}) \\
&=& \displaystyle \sum_{i = 1}^{n} x_i \sum_{j = 1}^{m} p_{ij} + \sum_{j = 1}^{m} y_j \sum_{i = 1}^{n} p_{ij} \\
&=& \displaystyle \sum_{i = 1}^{n} x_i p_i + \sum_{j = 1}^{m} y_j q_j \\
&=& \displaystyle E(X) + E(Y) \\
\end{array}
$$


確率変数の積の期待値

$X$ と $Y$ が独立であるとき,次の計算ができる。

$$E(XY) = E(X) \cdot E(Y)$$

$$\begin{array}{cl}
E(XY) &=& \displaystyle \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} (x_i y_j)p_{ij} \\
&=& \displaystyle \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} (x_i y_j) (p_{i} q_{j}) \\
&=& \displaystyle \left( \sum_{i = 1}^{n} x_i p_i \right) \cdot \left( \sum_{j = 1}^{m} y_j q_j \right) \\
&=& \displaystyle E(X) \cdot E(Y) \\
\end{array}
$$

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