- まとめ
- 具体例
「正規分布」とは
実験や製造などの誤差がつくる自然な確率分布のこと。
確率密度関数
$\displaystyle f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}$($m \in \mathbb{R}$, $\sigma>0$)
A. 期待値 $E(X)$と分散 $V(X)$
正規分布に従う確率変数 $X$ について, $E(X) = m$, $V(X) = \sigma^2$.
記号
平均値 $m$, 標準偏差 $\sigma$ の正規分布を $N(m, \sigma^2)$ と書く.
B. 正規分布の再帰性
独立な確率変数 $X$ と $Y$ が $N(m_1, \sigma_1^2)$ と $N(m_2, \sigma_2^2)$ にそれぞれ従うとき, $X + Y$ は正規分布 $N(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$ に従う.
C. 標準化(変数変換)
$N(m,\sigma^2)$ に従う確率変数 $X$ について, 確率変数 $Z=\frac{X-m}{\sigma}$ は 標準正規分布 $N(0,1^2)$ に従う.
D. 性質(確率の目安)
正規分布では, $m \pm 1\sigma$ では約$68 \%$, $m \pm 2\sigma$ では約$95 \%$, $m \pm 3\sigma$ では約$99 \%$の確率に対応する.
ポイント解説
「正規分布」はガウス分布とも呼ばれ、グラフはベルカーブ、釣鐘型と呼ばれる。
$N(0,1^2)$ を標準正規分布という。$$f(z) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{z^2}{2}}$$
確率密度関数
$f(x)$ は次を満たす:
- $0 \leqq f(x)$
- $P(a \leqq X \leqq b) = \int_a^b f(x) dx$
- $\int_a^b f(x) dx=1$
上の(3)は等式 $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} dx=\sqrt{\pi}$ から導出できる。
B
C
確率密度関数の計算で示せる。
D
$m-n \sigma \leqq X \leqq m+\sigma$ の範囲を $m \pm n \sigma$ と略記している。
平均値 $m$ から $\pm2\sigma$ や $\pm3\sigma$ 以上離れたデータを外れ値と定義することがある。
具体例
正規分布の例
確かめること.
確率密度関数であることを示す。必要条件としての積分が1であることを示す。
$$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}} dx=1$$
基本的なガウス積分の公式を仮定します。
$$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} dx=\sqrt{\pi}$$
証明.
被積分関数について, 変数変換 $\displaystyle t = \frac{x-m}{\sqrt{2}\sigma}$ をする. $dt = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2} \sigma}dx$ である.
$\begin{array}{ll}
\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx & \displaystyle = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}} dx \\
& \displaystyle = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} e^{-\left( \frac{x-m}{\sqrt{2}\sigma} \right)^2} dx \\
& \displaystyle= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} e^{-t^2}( \sqrt{2} \sigma) dt \\
& \displaystyle= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-t^2}dt \\
& \displaystyle= \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2}dt \\
& \displaystyle= \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \sqrt{\pi} \\
& = 1. \\
\end{array}$