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集合の公式整理ノート
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集合が分かる
集合の記号の定義について
「集合」とは
所属するかどうかが明確に定まっているものの集まりのこと。
<記号>集合の表記
内包表記 $\{x \mid P(x)\}$,
外延表記 $\{ a, b, c, \cdots\}$
解説はこちら
<定義>集合の要素
$x \in A$
解説はこちら
<定義>空集合
$\emptyset = \{\}$
解説はこちら
<定義>集合の包含関係
$A \subset B$
解説はこちら
<定義>集合の相等
$A=B$
解説はこちら
集合の演算について
<集合>全体集合 $U$
解説はこちら
<集合>差集合 $A \backslash B$
解説はこちら
2つの集合 $A$ と $B$ について, $A$ に属しているが $B$ には属していない要素全体の集合を, $A$ と $B$ の差集合といい, 記号 $\setminus$ または $-$ を用いて $$A \setminus B = \{ x \mid x \in A \text{ かつ } x \notin B \}$$ と表す。
たとえば, $A = \{1, 2, 3, 4\}$, $B=\{3, 4, 5\}$ のとき, $A \backslash B$ $=\{ 1, 2 \}$ です。
<集合>共通部分 $A \cap B$
解説はこちら
2つの集合 $A$ と $B$ のどちらにも属している要素全体の集合を, $A$ と $B$ の共通部分といい, $$A \cap B = \{ x \mid x \in A \text{ かつ } x \in B \}$$ と表す。
たとえば, $A=\{1, 2, 3\}$, $B=\{2, 3, 4\}$ のとき, $A \cap B$ $=\{ 2, 3 \}$ です。
<集合>和集合 $A \cup B$
解説はこちら
2つの集合 $A$ と $B$ の少なくとも一方に属している要素全体の集合を, $A$ と $B$ の和集合といい, $$A \cup B = \{ x \mid x \in A \text{ または } x \in B \}$$ と表す。
たとえば, $A=\{1, 2, 3\}$, $B=\{2, 3, 4\}$ のとき, $A \cup B$ $=\{ 1, 2, 3, 4 \}$ です。
<集合>補集合 $\overline{A}$
解説はこちら
全体集合を $U$ とするとき, 集合 $A$ に属さない要素全体の集合を $A$ の補集合といい, 記号 $\overline{A}$（または $A^c$）を用いて $$\overline{A} = U \setminus A = \{ x \mid x \in U \text{ かつ } x \notin A \}$$ と表す。
たとえば, 全体集合 $\{1, 2, 3, 4\}$, $A=\{2, 3\}$ のとき, $\overline{A}$ $=\{ 1, 4 \}$ です。
<集合>対称差 $A \triangle B$
解説はこちら
2つの集合 $A$ と $B$ について, $A$ または $B$ のいずれか一方のみに属している要素全体の集合を, $A$ と $B$ の対称差といい, $$A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$$ と表す。
たとえば, $A = \{1, 2, 3, 4\}$, $B=\{3, 4, 5\}$ のとき, $A \bigtriangleup B$ $=\{ 1, 2, 5 \}$ です。
集合に関する関係式について
<公式>ド・モルガンの法則①
$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$
<公式>ド・モルガンの法則②
$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$
証明はこちら
2つの集合 $A$ と $B$ について,
$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ および $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$
が成り立つ。
全体集合を $U$ とし, 集合の相等関係 $X = Y \iff (X \subset Y \text{ かつ } Y \subset X)$ に基づいて証明を行う。
任意の要素 $x \in U$ について, 次の同値関係が成り立つ。 $$ \begin{aligned} x \in \overline{A \cap B} &\iff x \notin (A \cap B) \\ &\iff x \notin A \text{ または } x \notin B \\ &\iff x \in \overline{A} \text{ または } x \in \overline{B} \\ &\iff x \in \overline{A} \cup \overline{B} \end{aligned} $$ 要素が完全に一致するため, $\overline{A \cap B} \subset \overline{A} \cup \overline{B}$ かつ $\overline{A} \cup \overline{B} \subset \overline{A \cap B}$ である。
先に証明した等式の $A, B$ をそれぞれ $\overline{A}, \overline{B}$ に置き換えると, 二重否定の性質 $\overline{\overline{A}} = A$ より次を得る。 $$ \begin{aligned} \overline{\overline{A} \cap \overline{B}} &= \overline{\overline{A}} \cup \overline{\overline{B}} \\ &= A \cup B \end{aligned} $$ この両辺の補集合をとると, $\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$ となる。
ゆえに, $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ および $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ が成り立つ。
たとえば, 全体集合 $U=\{1, 2, 3, 4\}$, $A=\{1, 2\}$, $B=\{2,3\}$ の場合,
$\overline{A \cap B}$ $=\{1,3,4\}$,
$\overline{A \cup B}$ $=\{4\}$,
$\overline{A} \cup \overline{B}$ $=\{1,3,4\}$,
$\overline{A} \cap \overline{B}$ $=\{4\}$
になります。
Illustratorで集合を表現する
［シェイプ］ベン図の作成
詳細はこちら
Illustratorでベン図を作ろう！色分けしよう！
Illustarator（adobe）を使って、ベン図を作る方法を紹介します。 ベン図は集合の重なりを視覚化する図です。 集合の共通部分や和集合などをIllustratorの「シェイプを結…
ますレッスン教室 
いろいろな集合について
UpSet Plot（アップセットプロット）
4つ以上の集合のベン図の代わりに、重なりを見やすく表すことができるグラフのこと。（勉強中）
11個の集合までのベン図（外部リンク参照）
こちらのリンク（外部参照）に11次元のベン図まで記載されていました。
面白かったです。
$\{ c \in \mathbb{C}\mid \lim_{n \to \infty} |z_{n}|<\infty\}$ ※マンデルブロ集合
複素数の定数 $c$ について, 漸化式 $z_{n+1} = z_n^2 +c$, $z_0=0$ で定義される数列 $\{ z_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ を考える. 数列 $\{ z_n \}_n$ が有界であるときの $c \in \mathbb{C}$ の集合をマンデルブロ集合という.
Pythonで集合を処理する
［集合］集合を定める
{要素1, 要素2, …} set([要素1, 要素2, …])
詳細はこちら
集合 $A=\{ 1, 2, 3\}$ のようなものを扱う方法をPythonでやってみよう。
Pythonコード
集合は{要素1, 要素2, …}もしくはset([要素1, 要素2, …])で表す。
set()関数はリスト型を集合型に変換する役割をもつ。
空集合はset()で表す。
入力例①. 集合 $\{1, 2, 3\}$ と 空集合 $\emptyset$ を定義する。
print({1, 2, 3})
print(set([1, 2, 3]))
print(set())
［集合］要素の追加・除去
集合の要素の追加.add()
除去.discard().remove()
詳細はこちら
集合に要素を追加したり, 除去したりして, 新しい集合を作ることをPythonで出力してみよう。
Pythonコード
例えば, 集合をAとする.
要素aを追加する場合A.add(a)とする。
要素aを除去する場合A.discard(a)もしくはA.remove(a)とする。（.remove()はAにaが存在しない場合エラーを返す。）
入力例. 集合 $A=\{1, 2, 3\}$ に $4$ を追加して, $1$ を除去した集合を作る。
s = {1, 2, 3}
s.add(4)
print(s)
s.discard(1)
print(s)
［集合］演算
A|B A&B A-B A^Bなど
詳細はこちら
集合 $A$ と $B$ の和集合 $A \cup B$, 共通部分 $A \cap B$, 差集合 $A \backslash B$, 対称差 $(A\backslash B) \cup (B\backslash A)$ の計算をPythonで出力してみよう。
Pythonコード
例えば, 集合をA,Bとする.
［演算子の利用］和集合はA | B, 共通部分はA & B, 差集合はA - B, 対称差はA^Bを使う。
［メソッドの利用］和集合はA.union(B), 共通部分はA.intersection(B), 差集合はA.difference(B), 対称差はA.symmetric_difference(B)を使う。
※メソッドを利用すると, ２つ以上の集合の演算ができる。演算子は2つの集合に対する演算しかできない。
入力例①. 集合 $A=\{1, 2, 3\}$ と $B=\{3, 4\}$ の和集合, 共通部分, 差集合, 対称差を表示する。
A = {1,2,3}
B={3,4}
print(f"和集合: {A|B}")
print(f"共通部分: {A & B}")
print(f"差集合A\B: {A - B}")
print(f"差集合B\A: {B - A}")
print(f"対称差: {A ^ B}")
入力例②. 集合 $A=\{1, 2, 3\}$ と $B=\{3, 4\}$, $C=\{ 3 \}$ の和集合, 共通部分, 差集合, 対称差を表示する。
A = {1,2,3}
B={3,4}
C = {3}
print(f"和集合 A∪B∪C: {A.union(B, C)}")
print(f"共通部分 A∩B∩C: {A.intersection(B, C)}")
print(f"差集合 A\(B∪C): {A.difference(B, C)}")
print(f"対称差 (A\C)∪(C\A): {A.symmetric_difference(C)}")
［集合］包含関係の判定
A==B A<=B A<B など
詳細はこちら
集合 $A$ と $B$ について, 等しい $A=B$, 含まれる $A \subset B$, 真に含まれる $A \subsetneq B$, 含む $A \supset B$, 真に含む $A \supsetneq B$ かどうか, 共通部分 $A \cup B$ があるかどうかの判定をPythonで出力してみよう。
Pythonコード
例えば, 集合をA,Bとする.
［演算子の利用］$A=B$ はA==B, $A \subset B$ はA <= B, $A \subsetneq B$ はA < B, $A \supset B$ はA >= B, $A \supsetneq B$ はA > Bで判定できる。
［メソッドの利用］$A \subset B$ はA.issubset(B), $A \supset B$ はA.issuperset(B)で判定できる。また, $A \cap B = \emptyset$ であるかはA.isdisjoint(B)で判定できる。
入力例①. 集合 $A=\{1, 2, 3\}$ と $B=\{2, 3\}$, $C=\{ 1, 2, 3 \}$ の包含関係を調べる。
A = {1, 2, 3}
B = {2, 3}
C = {1, 2, 3}
print(A == B)
print(A <= B)
print(A < B)
print(A >= C)
print(A > C)
入力例②. 集合 $A=\{1, 2, 3\}$ と $B=\{2, 3\}$ の包含関係を調べる。
A = {1, 2, 3}
B = {2, 3}
print(A.issubset(B))
print(A.issuperset(B))
print(A.isdisjoint(B))
［集合］ベン図の作成
matplotlib_venn
詳細はこちら
2つか3つの集合について, それらの重なりにある要素の個数をベン図で表示することをPythonで出力してみよう。
Pythonコード
matplotlib_vennモジュールのvenn2()venn3()関数を使う。
ベン図の図示はmatplotlibモジュールで行う.
2つの集合(AとB)のベン図を書く場合は, venn2([A,B])としてベン図を作成する。
3つの集合(AとB, C)のベン図を書く場合は, venn3([A,B,C])としてベン図を作成する。
入力例①. 集合 $A=\{1, 2, 3, 4\}$ と集合 $B=\{3, 4, 5, 6\}$ のベン図を表示して, 重なりにある要素の個数を図示する。
pip install matplotlib-vennfrom matplotlib_venn import venn2
import matplotlib.pyplot as plt
# 集合
A = {1, 2, 3, 4}
B = {3, 4, 5, 6}
# ベン図の描画
venn2([A, B], set_labels=('A', 'B'))
plt.show()
入力例②. 集合 $A=\{1, 2, 3, 4\}$ と集合 $B=\{3, 4, 5, 6\}$ のベン図を表示して, 重なりにある要素の個数を図示する。
pip install matplotlib-vennfrom matplotlib_venn import venn3
import matplotlib.pyplot as plt
# 集合を定義
A = {1, 2, 3, 4}
B = {3, 4, 5, 6}
C = {1, 4, 5, 6, 7}
# ベン図を描く
venn3([A, B, C], set_labels=('A', 'B', 'C'))
# グラフを表示
plt.show()
終わり
まとめノート
「集合」とは
所属するかどうかが明確に定まっているものの集まりのこと。
記号
集合 $A$ に $x$ が属すことを $x \in A$ とかく, $x$ は $A$ の要素（元）という. 集合 $A$ に $x$ が属さないことを $x \not\in A$ とかく.
A. 集合の包含関係
集合 $A$ が集合 $B$ に含まれるとき $A \subset B$ とかく. $A$ は $B$ の部分集合ともいう. 含まれないときは $A \not\subset B$ とかく.
B. 集合の演算
- 共通部分：$A \cap B = \{ x \mid x \in A \ \textrm{かつ} \ x \in B \}$
- 和集合：$A \cup B=\{ x \mid x \in A \ \textrm{または} \ x \in B \}$
- 補集合：$\overline{A} (={}^cA)=\{ x \in U \mid x \not\in A \}$（ $U$ は全体集合とする）
- 差集合：$A \backslash B=\{ x \mid x \in A \ \textrm{かつ} \ x \not\in B \}$
空集合 $\emptyset$
要素が何もない集合のこと [性質] $A\cap \overline{A}=\emptyset$, $\emptyset \subset A$.
全体集合
考える対象全体の集合のこと [性質] $\overline{U} = \emptyset$, $A \cup \overline{A} = U$.
C. ド・モルガンの法則
① $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$
② $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$
ポイント解説
表記
集合の表現方法には２種類ある；
- 内包表記：$\{ x \mid x \ \textrm{は} 5 \textrm{以下の自然数} \}$
- 外延表記：$\{ 1, 2, 3, 4, 5 \}$
A
$\forall x \in A \Rightarrow x \in B$
が $A \subset B$ の定義である。また,
$A \subset B$ かつ $A \subset B$
のとき $A=B$ とする（外延性の公理）。
B
それぞれの集合のベン図；
C
ベン図は次の通り；
発展
ZFC公理系
が集合を保証する。
