数学のまとめノート

「三角関数の加法定理」とは

三角関数の変数(角度)の和や差での値の違いを表す公式のこと。

A. 三角関数の加法定理

  1. sin⁡(α±β)=sin⁡(α)cos⁡(β)±cos⁡(α)sin⁡(β)
  2. cos⁡(α±β)=cos⁡(α)cos⁡(β)∓sin⁡(α)sin⁡(β)
  3. tan⁡(α±β)=tan⁡(α)±tan⁡(β)1∓tan⁡(α)tan⁡(β)

B. 倍角の公式

  1. sin⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)
  2. cos⁡(2x)=cos2⁡(x)−sin2⁡(x) =1−2sin2⁡(x) =2cos2⁡(x)−1
  3. tan⁡(2x)=2tan⁡(x)1−tan2⁡(x)

C. 半角の公式

  1. sin2⁡(x2)=1−cos⁡(x)2
  2. cos2⁡(x2)=1+cos⁡(x)2
  3. tan2⁡(x2)=1−cos⁡(x)1+cos⁡(x)

ポイント解説

A

次図の AB を距離の公式と余弦定理の2通りで求めれば加法定理が導ける.

積和・和積の公式

  1. sin⁡αcos⁡β =12{sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)}
  2. cos⁡αsin⁡β =12{sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β)}
  3. cos⁡αcos⁡β =12{cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β)}
  4. sin⁡αsin⁡β =−12{cos⁡(α+β)−cos⁡(α−β)}
  5. sin⁡A+sin⁡B =2sin⁡A+B2cos⁡A−B2
  6. sin⁡A−sin⁡B =2cos⁡A+B2sin⁡A−B2
  7. cos⁡A+cos⁡B =2cos⁡A+B2cos⁡A−B2
  8. cos⁡A−cos⁡B =−2sin⁡A+B2sin⁡A−B2

三角関数の具体例

さまざまな公式

三角関数の周期性（+2π）

  1. sin⁡(x+2π)=sin⁡(x)
  2. cos⁡(x+2π)=cos⁡(x)
  3. tan⁡(x+2π)=tan⁡(x)

三角関数の周期性（+π）

  1. sin⁡(x+π)=−sin⁡(x),
  2. cos⁡(x+π)=−cos⁡(x)
  3. tan⁡(x+π)=tan⁡(x)

三角関数の対称性（偶奇）

  1. sin⁡(−x)=−sin⁡(x)
  2. cos⁡(−x)=cos⁡(x)
  3. tan⁡(−x)=−tan⁡(x)

三角関数の対称性（90∘の対称性）

  1. sin⁡(π−x)=−sin⁡(x),
  2. cos⁡(π−x)=−cos⁡(x)
  3. tan⁡(π−x)=tan⁡(x)

三角関数の対称性（45∘の対称性）

  1. sin⁡(π2−x)=cos⁡(x),
  2. cos⁡(π2−x)=sin⁡(x)
  3. tan⁡(π2−x)=1tan⁡(x)

三角関数の加法定理

  1. sin⁡(α+β)=sin⁡(α)cos⁡(β)+cos⁡(α)sin⁡(β)
  2. sin⁡(α−β)=sin⁡(α)cos⁡(β)−cos⁡(α)sin⁡(β)
  3. cos⁡(α+β)=cos⁡(α)cos⁡(β)−sin⁡(α)sin⁡(β)
  4. cos⁡(α−β)=cos⁡(α)cos⁡(β)+sin⁡(α)sin⁡(β)
  5. tan⁡(α+β)=tan⁡(α)+tan⁡(β)1−tan⁡(α)tan⁡(β)
  6. tan⁡(α−β)=tan⁡(α)−tan⁡(β)1+tan⁡(α)tan⁡(β)

2倍角の公式

  1. sin⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)
  2. cos⁡(2x)=cos2⁡(x)−sin2⁡(x) =1−2sin2⁡(x) =2cos2⁡(x)−1
  3. tan⁡(2x)=2tan⁡(x)1−tan2⁡(x)

半角の公式

  1. sin2⁡(x2)=1−cos⁡(x)2
  2. cos2⁡(x2)=1+cos⁡(x)2
  3. tan2⁡(x2)=1−cos⁡(x)1+cos⁡(x)

3倍角の公式

  1. sin⁡(3x)=3sin⁡(x)−4sin3⁡(x)
  2. cos⁡(3x)=4cos3⁡(x)−3cos⁡(x)
  3. tan⁡(3x)=3tan⁡(x)−3tan⁡(x)1−tan2⁡(x)

積和の公式

  1. sin⁡αcos⁡β =12{sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)}
  2. cos⁡αsin⁡β =12{sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β)}
  3. cos⁡αcos⁡β =12{cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β)}
  4. sin⁡αsin⁡β =−12{cos⁡(α+β)−cos⁡(α−β)}

和積の公式

  1. sin⁡A+sin⁡B =2sin⁡A+B2cos⁡A−B2
  2. sin⁡A−sin⁡B =2cos⁡A+B2sin⁡A−B2
  3. cos⁡A+cos⁡B =2cos⁡A+B2cos⁡A−B2
  4. cos⁡A−cos⁡B =−2sin⁡A+B2sin⁡A−B2
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