三角比について

定義（三角比）

$C = 90^{\circ}$ の直角三角形 $\mathrm{ABC}$ において, $\theta =\angle \mathrm{BAC}$ とする.

次の値をそれぞれ $\angle \mathrm{A}$ の正弦, 余弦, 正接という.

$\displaystyle \sin \theta = \frac{a}{c}$, $\displaystyle \cos \theta = \frac{b}{c}$, $\displaystyle \tan \theta = \frac{a}{b}$

また, 次の値を $\angle \mathrm{A}$ の正割, 余割, 余接という.

$\displaystyle \sec \theta = \frac{c}{b}$, $\displaystyle \csc \theta = \frac{c}{a}$, $\displaystyle \cot \theta = \frac{b}{a}$

$a=1$, $b=1$, $c=\sqrt{2}$ である直角二等辺三角形では, $\angle A = 45^{\circ}$ であり,

$\displaystyle \sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\displaystyle \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\displaystyle \tan 45^{\circ} = 1$, $\displaystyle \sec 45^{\circ} = \sqrt{2}$, $\displaystyle \csc 45^{\circ} = \sqrt{2}$, $\displaystyle \cot 45^{\circ} = 1$

となる.

$\sin$ $\cdots$ sine

$\cos$ $\cdots$ cosin

$\tan$ $\cdots$ tangent

$\sec$ $\cdots$ secant

$\csc$ $\cdots$ cosecant

$\cot$ $\cdots$ cotangent

co(余)とは余角 $90^{\circ}-\theta$ に関して同様の定義を定めるもので, 次の図で $\sin(90^{\circ}-\theta)$, $\tan(90^{\circ}-\theta)$, $\sec(90^{\circ}-\theta)$ を定めたものが $\cos \theta$, $\cot \theta$, $\csc \theta$ になっている.

三角比の単元のときの注意点リストを書きました。

三角比に関する記号について

2乗の書き方

三角比の２乗（平方）は、通常と書き方が違います。

$\sin A$ の平方のことを $\sin^2 A$ と表記します。$\sin A^2$ とは表記しません。

$$\sin^2 A =( \sin A )^2 = \sin A \times \sin A$$

$\sin$ に2乗を付ける理由は、$\sin A$ を2乗しているのか、$A$ を2乗しているのかを区別するためです。

具体的に見ると、違いがよく分かります。

$\sin^2 25^{\circ} = \sin 25^{\circ} \times \sin 25^{\circ}$ と、

$\sin 25^{\circ} \ {}^2 = \sin 625^{\circ}$ は違います。

シータについて（適当に書かない！）

角度を表す記号でシータ $\theta$ が登場します。

シータ $\theta$ はギリシャ文字です。

アルファ $\alpha$ や ベータ $\beta$ の仲間です。（通常使用している、アルファベットの $a$ や $b$ は、ラテン文字（ローマ字）です。）

ギリシャの文字を利用しています。

変数 $\theta$ の意味（大事！）

三角比（三角関数）の変数である $\theta$ の意味は3通りあります。

鋭角の角度 $\theta$

鋭角とは $0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ の角度のことです。

$\theta$ が鋭角のときは、対応する直角三角形があるので、三角形の一つの角度を使いやすいです。

$\theta$ ではなく、三角形の角度を表す $A$ を利用することが多いです。

$0 \sim 180$ 度の角度 $\theta$

0度から180度までの角度のときは、対応する直角三角形が考えられないので、三角形の頂点を表す $A$ などは利用できません。

そこで、$A$ などの記号よりも $\theta$ が好まれて使われます。

弧度としての長さ $\theta$

弧度法（円弧の弧長）のときは、$\theta$ は厳密には長さです。

長さの場合は、よく利用する変数である $x$ を変数として使うことも自然です。

だから、数学Ⅱの三角関数の単元では、$\sin \theta$ や $\sin x$ が両方出てきます。

三角比の相互関係の公式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta=1$ を, 直角三角形による定義から証明してみよう。

公式

$0^{\circ}<\theta <90^{\circ}$ であるとき,

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta=1$

証明.

次の直角三角形 $\mathrm{ABC}$ を想定する.

三平方の定理より, $a^2 + b^2 = c^2$ が成り立つ.

この式の両辺を $c^2$ で割ることで,

$\displaystyle \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2}=1$ $\Leftrightarrow \displaystyle \left(\frac{a}{c} \right)^2 + \left(\frac{b}{c} \right)^2=1$

を得る.

また, 正弦と余弦の定義より,

$\displaystyle \sin \theta = \frac{a}{c}$, $\displaystyle \cos \theta = \frac{b}{c}$

であった.

ゆえに, $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ が成り立つ.

$\theta = 30^{\circ}$ のときは,

$\displaystyle \sin \theta = \frac{1}{2}$

$\displaystyle \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

であり,

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta$ $\displaystyle = \frac{1}{4} + \frac{3}{4}$ $=1$

になります。

三角比の相互関係の公式 $\displaystyle \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を, 直角三角形による定義から証明してみよう。

公式

$0^{\circ}<\theta <90^{\circ}$ であるとき,

$\displaystyle \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

証明.

次の直角三角形 $\mathrm{ABC}$ を想定する.

正弦と余弦の定義より,

$\displaystyle \sin \theta = \frac{a}{c}$, $\displaystyle \cos \theta = \frac{b}{c}$

であった. 示すべき式の右辺を計算すると,

$\displaystyle \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ $=\sin \theta \div \cos \theta$ $\displaystyle =\frac{a}{c} \div \frac{b}{c}$ $\displaystyle = \frac{a}{b}$

となる. この式は正接の定義に一致する.

$\displaystyle \tan \theta = \frac{a}{b}$

ゆえに, $\displaystyle \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ が成り立つ.

$\theta = 30^{\circ}$ のときは,

$\displaystyle \sin \theta = \frac{1}{2}$

$\displaystyle \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\displaystyle \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$

であり,

$\sin \theta \div \cos \theta$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \div \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{3}}$

になります。

三角比の相互関係の公式 $\displaystyle \tan^2 \theta +1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ を証明してみよう。

三角比の相互関係の公式を計算するときの注意点リストを書きました。

三角比の相互関係の計算テクニック

三角比の相互関係の公式は、数学I（三角比）と数学Ⅱ（三角関数）の教科書を合わせると3回同じ式が出てきます。

(1) $\displaystyle \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ $\cdots$ ①

(2) $\displaystyle \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ $\cdots$ ②

(3) $\displaystyle \tan^2 \theta + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ $\cdots$ ③

3つの相互関係の公式を計算するときの注意点整理します。

相互関係のどの公式をいつ使うのか？

相互関係の公式は、1つの三角比の値が分かっているときに、他の三角比の値を求めるために利用することが大きな役割です。

既知の三角比を１列目に、求めたい三角比を１行目に書きました。

他には、$\cos A$ が分かっているときに、$\tan A$ だけを求める必要があります。この場合は、③の公式だけを利用しましょう。

②の公式の便利な計算方法

相互関係の②の公式は、2つの形に変えられます。

$$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$$

特に、計算が苦手な方は、知っておいてください！

次の2つの式も同じ公式です。

$$\tan A = \sin A \div \cos A$$

$$\sin A = \tan A \times \cos A$$

$\tan A = \sin A \div \cos A$

公式の一つ目の変形パターンは、$\sin A$ と $\cos A$ から、 $\tan A$ を求める際に便利です。

公式の元の形のままでは、「分数ぶんの分数」になってしまうなることが多く、計算が苦手な人は間違えやすいです。

「分数 $ \div$ 分数」とすれば、後ろの分数をひっくり返して掛け算をすれば良いので、計算が容易になります。

$\sin A = \tan A \times \cos A$

公式の二つ目の変形パターンは、$\tan A$ と $\cos A$ から、$\sin A$ を求める際に便利です。

2つの三角比を掛けるだけで、$\sin A$ を求められるので考えやすいです。

③の公式の便利な計算方法

③の公式を利用するとき、$\displaystyle \frac{1}{\cos^2 A}$ の計算は

$$\displaystyle 1 \div \cos^2 A$$

とすると、計算が苦手な方は比較的簡単に計算することができます！

$\cos A$ は分数である場合が多いので、分数/分数になると計算が大変なので、この方法で回避しましょう。

平方根をとるときの三角比の正負

角度 $\theta$ の存在範囲によって、$\sin^2 A$ から２乗を外して $\pm \sin A$ にしたとき、正負のどちらを選ぶかを決める必要があります。

次の表を参考にして、正負を決めてください。

まとめ

三角比の相互関係の公式は、慣れると機械的に計算できます。

しかし、初めて学ぶときには、ややこしい表記や計算が混在しています。

学ぶ方も、教える方も忘れずにしないといけないことを整理しました。

$\theta$ の余角の三角比 $\sin(90^{\circ} - \theta)$, $\cos(90^{\circ} - \theta), \tan(90^{\circ} - \theta)$ の公式を証明してみよう。

公式

$0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ のとき,

$\sin(90^{\circ}- \theta)=\cos \theta$,

$\cos(90^{\circ} - \theta)=\sin \theta$,

$\displaystyle \tan(90^{\circ} - \theta) = \frac{1}{\tan\theta}$

証明.

それぞれの三角比の定義は

$\displaystyle \sin \theta = \frac{a}{c}$,

$\displaystyle \cos \theta = \frac{b}{c}$,

$\displaystyle \tan \theta = \frac{a}{b}$

である.

$90^{\circ}-\theta= \angle \mathrm{ABC}$ であるから, 余角の三角比は次の図

を参考にして

$\displaystyle \sin (90^{\circ}-\theta) = \frac{b}{c}$,

$\displaystyle \cos (90^{\circ}-\theta) = \frac{a}{c}$,

$\displaystyle \tan (90^{\circ}-\theta) = \frac{b}{a}$

となる.

ゆえに, $0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ のとき,

$\sin(90^{\circ}- \theta)=\cos \theta$,

$\cos(90^{\circ} - \theta)=\sin \theta$,

$\displaystyle \tan(90^{\circ} - \theta) = \frac{1}{\tan\theta}$

が成り立つ.

$\theta = 30^{\circ}$ のときは,

$\displaystyle \sin \theta = \frac{1}{2}$

$\displaystyle \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\displaystyle \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$

であり,

余角 $90^{\circ}-\theta$ $=60^{\circ}$ の三角比は

$\sin(90^{\circ}-\theta)$ $\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (90^{\circ}-\theta)$ $\displaystyle = \frac{1}{2}$

$\tan (90^{\circ}-\theta)$ $ = \sqrt{3}$

になってます。

三角比 $\sin(90^{\circ} + \theta)$, $\cos(90^{\circ} + \theta), \tan(90^{\circ} + \theta)$ の公式を証明してみよう。

公式

$0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ のとき,

$\sin(90^{\circ}+ \theta)=\cos \theta$,

$\cos(90^{\circ} + \theta)=-\sin \theta$,

$\displaystyle \tan(90^{\circ} + \theta) = -\frac{1}{\tan\theta}$

証明.

それぞれの三角比の定義は

$\displaystyle \sin \theta = y$,

$\displaystyle \cos \theta = x$,

$\displaystyle \tan \theta = \frac{y}{x}$

である.

$90^{\circ}+\theta$ の三角比は次の図

を参考にして

$\displaystyle \sin (90^{\circ}+\theta) = x$,

$\displaystyle \cos (90^{\circ}+\theta) = -y$,

$\displaystyle \tan (90^{\circ}+\theta) = \frac{x}{-y}$

となる.

ゆえに, $0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ のとき,

$\sin(90^{\circ}+ \theta)=\cos \theta$,

$\cos(90^{\circ} + \theta)=-\sin \theta$,

$\displaystyle \tan(90^{\circ} + \theta) = -\frac{1}{\tan\theta}$

が成り立つ.

$\theta = 30^{\circ}$ のときは,

$\displaystyle \sin \theta = \frac{1}{2}$

$\displaystyle \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\displaystyle \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$

であり,

$90^{\circ}+\theta$ $=120^{\circ}$ の三角比は

$\sin(90^{\circ}+\theta)$ $\displaystyle = \frac{1}{2}$

$\cos (90^{\circ}+\theta)$ $\displaystyle = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan (90^{\circ}+\theta)$ $ = -\sqrt{3}$

になってます。

$\theta$ の補角の三角比 $\sin(180^{\circ} - \theta)$, $\cos(180^{\circ} - \theta)$, $\tan(180^{\circ} - \theta)$ の公式を証明してみよう。

公式

$0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ のとき,

$\sin(180^{\circ}- \theta)=\sin \theta$,

$\cos(180^{\circ} - \theta)=-\cos \theta$,

$\displaystyle \tan(180^{\circ} - \theta) = - \tan\theta$

証明.

それぞれの三角比の定義は

$\displaystyle \sin \theta = y$,

$\displaystyle \cos \theta = x$,

$\displaystyle \tan \theta = \frac{y}{x}$

である.

補角 $180^{\circ}-\theta$ の三角比は次の図

を参考にして

$\displaystyle \sin (90^{\circ}-\theta) = y$,

$\displaystyle \cos (90^{\circ}-\theta) = -x$,

$\displaystyle \tan (90^{\circ}-\theta) = \frac{y}{-x}$

となる.

ゆえに, $0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ のとき,

$\sin(180^{\circ}- \theta)=\sin \theta$,

$\cos(180^{\circ} - \theta)=-\cos \theta$,

$\displaystyle \tan(180^{\circ} - \theta) = -\tan\theta$

が成り立つ.

$\theta = 150^{\circ}$ のときは,

$\sin \theta$ $\displaystyle = \frac{1}{2}$

$\cos \theta$ $\displaystyle = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan \theta$ $\displaystyle = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

であり,

補角 $180^{\circ}-\theta$ $=30^{\circ}$ の三角比は

$\sin (180^{\circ}-\theta)$ $\displaystyle = \frac{1}{2}$

$\cos (180^{\circ}-\theta)$ $\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan (180^{\circ}-\theta)$ $\displaystyle = \frac{1}{\sqrt{3}}$

になってます。

相関係数 $r$ が, データから定義される2つのベクトルのなす角 $\theta$ に関する $\cos \theta$ であることを理解してみよう。

三角比 $\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ の値をスプレッドシート（表計算ソフト）で出力してみよう。

表計算の方法. $\sin 30^{\circ}$, $\cos 30^{\circ}$, $\tan 30^{\circ}$ の値を出力する。

①［A2］$30^{\circ}$ を弧度に変換して=PI()/180*30と入力する。

②［B2］$\sin 30^{\circ}$ の値を=SIN(A2)と入力することで［A2］の弧度を参照して出力する。

③［C2］$\cos 30^{\circ}$ の値を=COS(A2)と入力することで［A2］の弧度を参照して出力する。

④［D2］$\tan 30^{\circ}$ の値を=TAN(A2)と入力することで［A2］の弧度を参照して出力する。

■結果

三角関数の値をPythonで計算してみよう。

Pythonコード入力例. $\displaystyle \sin \frac{\pi}{6}$ と $\sin 30^{\circ}$, $\cos 30^{\circ}$, $\tan 30^{\circ}$ の値を出力する。

import numpy as np

a = np.pi/6
b = np.radians(30)

print(np.sin(a))
print(np.sin(b))
print(np.cos(b))
print(np.tan(b))

Pythonコード入力例. $\displaystyle \sin \frac{\pi}{6}$ と $\sin 30^{\circ}$, $\cos 30^{\circ}$, $\tan 30^{\circ}$ の値を出力する。

import math

a = math.pi/6
b = math.radians(30)

print(math.sin(a))
print(math.sin(b))
print(math.cos(b))
print(math.tan(b))