複利法について

利子率 $10\%$, 初回の投資額を $10$ 万円とする。$10$ 回目の利子を受け取った後の元利合計および利子の総額を求める。

与えられた条件より, $r = 0.1$, $a = 10$ 万円である。$n$ 回目の利子を得た後の元利合計を $a_n$ とすると, 次の式が成り立つ。 $$ a_n = 10 \times (1.1)^n $$ $n=10$ のとき, $$ a_{10} = 10 \times (1.1)^{10} \fallingdotseq 25.9374 \text{ （万）} $$ ゆえに, $10$ 回目の利子を受け取った後の元利合計は 259,374円 である。

投資金額（元金）は $10$ 万円であるため, 受け取った利子の総額 $I$ は次のように計算できる。 $$ I = 25.9374 - 10 = 15.9374 \text{ （万）} $$ ゆえに, $10$ 回で受け取った利子の総額は 159,374円 である。

単利式（元金にのみ利子が付く方式）の場合, $10$ 回で受け取る利子の総額は： $$ 10 \text{ 万円} \times 0.1 \times 10 = 10 \text{ 万円} $$ となり, 複利の方が約 $6$ 万円も多くなることがわかる。

$0 \leqq k \leqq n$ とする。初回から数えて $n$ 回目の利子を受け取る時点では, $k$ 回目に積み立てた額 $a$ には利子が $n-k$ 回付くため, 元利合計は $a(1+r)^{n-k}$ となる。

これらすべての和をとると, 求める総額は $\displaystyle \sum_{k=0}^n a (1+r)^{n-k}$ $= a(1+r)^n + \cdots + a(1+r) + a$ のように表される。

この和は, 足す順番を逆にすると「初項 $a$, 公比 $1+r$, 項数 $n+1$」の等比数列の和とみなすことができる。 $$ \sum_{k=0}^n a (1+r)^{n-k} = \sum_{k=0}^n a (1+r)^{k} $$

ここで, 初項 $a$, 公比 $R$, 項数 $N$ の等比数列の和の公式 $\frac{a(R^N - 1)}{R-1}$ を用いる。今回の項数は $n+1$ であることに注意して計算すると： $$ \begin{aligned} \sum_{k=0}^n a (1+r)^{k} &= \frac{a \{ (1+r)^{n+1} - 1 \}}{(1+r) - 1} \\[8pt] &= \frac{a}{r} \{ (1+r)^{n+1} - 1 \} \end{aligned} $$

ゆえに, $n$ 回目の利子を受け取った後の積立の元利合計は $$ \frac{a}{r} \{ (1+r)^{n+1} - 1 \} $$ である。

【条件設定】
初回の投資額（元本）：$a_0 = 50$ (万円)
毎回の積立額：$10$ (万円)
複利の利子率：$10\%$ ($1.1$ 倍)

$n$ 回目の利子を受け取った後の資産を $a_n$ とすると, 翌年の資産 $a_{n+1}$ は「現在の資産の $1.1$ 倍」に「積立額 $10$」を加えたものになる。 $$ a_{n+1} = 1.1a_n + 10 \quad (a_0 = 50) $$

特性方程式 $x = 1.1x + 10$ を解くと, $x = -100$ となる。 これを利用して, 漸化式を次のように変形する。 $$ a_{n+1} + 100 = 1.1(a_n + 100) $$ ここで $b_n = a_n + 100$ とおくと, 数列 $\{b_n\}$ は公比 $1.1$ の等比数列となる。

初項 $b_0$ は： $$ b_0 = a_0 + 100 = 50 + 100 = 150 $$ 等比数列の一般項の公式より： $$ \begin{aligned} b_n &= 150 \cdot (1.1)^n \\[5pt] a_n + 100 &= 150 \cdot (1.1)^n \end{aligned} $$ ゆえに, $n$ 回目の利子を受け取った後の資産 $a_n$ は以下の通りとなる。 $$ a_n = 150(1.1)^n - 100 $$