等差数列について

$a=a_n$, $b=a_{n+1}$, $c=a_{n+2}$ とする。

等差数列の定義である

$a_{n+2}-a_{n+1} = a_{n+1}-a_n$

は, $c-b=b-a$ であり, この式は

$2b=a+c$

と同値である。

各段階の漸化式を使う
$$\begin{array}{rrrrrc}
&a_n & - & a_{n-1} & = & d\\
&a_{n-1} & - & a_{n-2} & = & d \\
& &\vdots & & & \vdots \\
&a_3 & - & a_2 & = & d \\
+\large{)}&a_2& - & a_1 & = & d \\ \hline
& a_n & - & a_1 & = & (n-1)d
\end{array}$$

植木算の考え方を使う.
$a_n$ は，初項 $a_1$ に 公差を $(n-1)$ 回加えれば良いので, $$a_n = a_1 +(n-1)d$$ になります。

等差数列を初項から最後の項まで足した和を $S$ とします。

$$\begin{array}{rrrcccccc}
& S & = & a_1 &+& a_2 &+ \cdots +& a_{n-1} &+& a_n \\
+\large{)} & S & = & a_n &+& a_{n-1} &+ \cdots +& a_2 &+& a_1 \\
\hline
& 2S & = & a_1 + a_n & + & a_1 + a_n & + & \cdots & + & a_1 + a_n
\end{array}$$

この筆算の結果を集計すると，和の公式を得ます。

等差数列の一般項が

$a_n = a_1 + (n-1)d$

であるとき, 等差数列の和の公式

$\displaystyle S=\frac{1}{2}(a_1 + a_n)$

に代入すると,

$\displaystyle S=\frac{1}{2}(2a_1+(n-1)d)$

が得られる。

等差数列の和 $S_n$ が最大・最小を取るときの $n$ の値を求める方法を理解してみよう。

自然数列は $\{n\}_n$ と表すことができる。

$1$ 番目の $a_1=1$ から $n$ 番目の $a_n=n$ までの和を求めるには等差数列の和の公式

$\displaystyle S=\frac{1}{2}(a_1 + a_n)$

を利用する。

俵杉算の計算方法を使って, 米俵の個数を数えてみよう。

理屈.

真ん中の段より下の段ではみ出た分を、真ん中より上の段の空いている部分に移します。

すると、真ん中の段の俵の個数が横の長さの長方形ができます。

ゆえに、米俵の個数を段数で割ると、真ん中の段の米俵の個数が分かります。

奇数列は $\{2n-1\}_n$ と表わすことができる。

奇数の和が足し合わせた個数の平方で表せることを確かめてみよう。

奇数の和

$1$ から $n$ 番目の奇数 $2n-1$ までの和は $n^2$ である.

$1 + 3 + 5+ \cdots + (2n-1) = n^2$

理屈.

奇数を次の図のように並べることで, $n$ 個の奇数の和は辺の長さが $n$ の正方形と見なせる。

したがって, 数の和は $n^2$ となります。

$1$, $3$, $5$, $7$, $9$ の$5$ 個の数の和は, $25$ です。

$5^2$ にもなっている。

偶数列は $\{2n\}_n$ と表わすことができる。

偶数の和が足し合わせた個数とその数プラス１の積で表せることを確かめてみよう。

偶数の和

$1$ から $n$ 番目の偶数 $2n$ までの和は $n(n+1)$ である.

$2 + 4 + 6+ \cdots + 2n$ $= n(n+1)$

理屈.

偶数を次の図のように並べることで, $n$ 個の偶数の和は縦の長さが $n$, 横の長さが $n+1$ の長方形と見なせる。

したがって, 数の和は $n(n+1)$ となります。

$2$, $4$, $6$, $8$, $10$ の $5$ 個の数の和は, $30$ です。

$5 \times 6$ にもなっている。

分母に $m \in \mathbb{Z}$ をもつ有理数列は $\displaystyle \left\{ \frac{n}{m} \right\}_n$ と表わすことができる。

等差数列をPythonで計算してみよう。

Pythonコード入力例. 初項 $1$, 公差 $2$ の等差数列を初項から第 $10$ 項まで出力する。

a = 1
d = 2
n = 10

seq = [a + d * (i - 1) for i in range(1, n + 1)]
print("等差数列:", seq)

Pythonのリストから折れ線グラフを作成する方法を習得しよう。

Pythonコード. リスト[2, 5, 3, 4, 6, 9]の折れ線グラフを作成する。

import matplotlib.pyplot as plt

lst = [2, 5, 3, 4, 6, 9]

# 折れ線グラフを描く
plt.plot(lst)

# グラフのタイトル・ラベル
plt.title("Line Graph")
plt.xlabel("Index")
plt.ylabel("Value")

# グラフの表示
plt.show()

Pythonのリストの合計を出力するsum()関数の使い方を習得しよう。

Pythonコード. [5, 7, 3, 4, 8]の要素の合計値を計算して出力する。

lst = [5, 7, 3, 4, 8]
sum(lst)

等差数列の和をPythonで計算してみよう。

Pythonコード入力例. 初項 $1$, 公差 $2$ の等差数列の初項から第 $10$ 項までの和を出力する。

a = 1
d = 2
n = 10

total = n * (2 * a + (n - 1) * d) // 2
print("等差数列の和:", total)

Pythonのリストの初めからi番目までの和を並べて新しいリストを作るitertools.accumulate()関数の使い方を習得しよう。

Pythonコード. [2, 7, 5, 3]のリストにaccumulate()関数を適用し新しいリストを作る。

from itertools import accumulate

lst = [2, 7, 5, 3]
result = list(accumulate(lst))

print(result)

Pythonのリストの要素の最大値と最小値を出力するmax()関数とmin()関数の使い方を習得しよう。

Pythonコード. [2, 7, 5, 3]の要素の最大値と最小値を出力する。

lst = [2, 7, 5, 3]
max_value = max(lst)
min_value = min(lst)

print("最大値:", max_value)
print("最小値:", min_value)

Pythonのリストの特定の要素が何番目からあるかを出力するindex()関数の使い方を習得しよう。

Pythonコード. リスト[2, 7, 5, 3]で5が何番目にあるかを出力する。

lst = [2, 7, 5, 3]
index_5 = lst.index(5)
index_5_1 = lst.index(5)+1

print("5が何番目か（0からカウント）:", index_5)
print("5が何番目か（1からカウント）:", index_5_1)

等差数列の和が最大や最小になるときの $n$ をPythonで観察してみよう。

Pythonコード入力例. 初項 $221$, 公差 $-6$ の等差数列の和のグラフを作成し, 最大値と何項目であるかを出力する。

from itertools import accumulate
import matplotlib.pyplot as plt

a = 221
d = -6
n = 50 #何項目までのグラフを作成するか（調整する）

seq = [a + d * (i - 1) for i in range(1, n + 1)]
total = list(accumulate(seq))

plt.plot(total)

max_value = max(total)
index_max = total.index(max_value)+1

plt.show()
print(f"数列の和の最大値は n={index_max} のときの {max_value}")