- 目次
- 理解
- 事例
- コード
- まとめ
【理解】等差数列の数学的解説
等差数列の定義・一般項について
「等差数列」とは
隣り合う数の差がいつも等しい数列のこと。
<定義・漸化式①>等差数列
$a_{n+2}-a_{n+1} = a_{n+1}-a_n$
詳細はこちら
<漸化式②>等差数列
$a_{n+1}- a_n = d$
詳細はこちら
<性質>等差中項
$a, b, c$ が等差数列
$\Leftrightarrow 2b=a+c$
証明はこちら
$a=a_n$, $b=a_{n+1}$, $c=a_{n+2}$ とする。
等差数列の定義である
$$a_{n+2}-a_{n+1} = a_{n+1}-a_n$$
は, $$c-b=b-a$$ であり, この式は $2b=a+c$ と同値である。
<一般項>等差数列
$a_n = a + (n-1)d$
漸化式による一般項の導出はこちら
各段階の漸化式を使う
$$\begin{array}{rrrrrc}
&a_n & - & a_{n-1} & = & d\\
&a_{n-1} & - & a_{n-2} & = & d \\
& &\vdots & & & \vdots \\
&a_3 & - & a_2 & = & d \\
+\large{)}&a_2& - & a_1 & = & d \\ \hline
& a_n & - & a_1 & = & (n-1)d
\end{array}$$
植木算による一般項の導出はこちら
植木算の考え方を使う.
$a_n$ は，初項 $a_1$ に 公差を $(n-1)$ 回加えれば良いので, $$a_n = a_1 +(n-1)d$$ になります。
等差数列の和について
<数列の和①>等差数列
$\displaystyle S=\frac{1}{2}(a_1 + a_n)$
証明はこちら
等差数列を初項から最後の項まで足した和を $S$ とします。
$$\begin{array}{rrrcccccc}
& S & = & a_1 &+& a_2 &+ \cdots +& a_{n-1} &+& a_n \\
+\large{)} & S & = & a_n &+& a_{n-1} &+ \cdots +& a_2 &+& a_1 \\
\hline
& 2S & = & a_1 + a_n & + & a_1 + a_n & + & \cdots & + & a_1 + a_n
\end{array}$$
この筆算の結果を集計すると，和の公式を得ます。
<数列の和②>等差数列
$\displaystyle S=\frac{n}{2}\{2a_1+(n-1)d\}$
証明はこちら
等差数列の一般項が
$a_n = a_1 + (n-1)d$
であるとき, 等差数列の和の公式
$\displaystyle S=\frac{n}{2}(a_1 + a_n)$
に代入すると,
$\displaystyle S=\frac{n}{2}\{2a_1+(n-1)d\}$
が得られる。
<条件>等差数列の和の最大最小
$a_n \cdot a_{n+1} \le 0$ (正負の変わり目)のとき $S_n$ は最大もしくは最小
証明はこちら
【事例】等差数列の具体例
整数に関する等差数列について
<事例>自然数
$\displaystyle 1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \cdots$
解説はこちら
自然数列は $\{n\}_n$ と表すことができる。
<事例>自然数の和
$\displaystyle 1 + 2 +3 + \cdots + n = \frac{1}{2}n(n+1)$
解説はこちら
$1$ 番目の $a_1=1$ から $n$ 番目の $a_n=n$ までの和を求めるには等差数列の和の公式
$$\displaystyle S=\frac{1}{2}(a_1 + a_n)$$
を利用する。
<事例>俵杉参
解説はこちら
米俵が何段かに積み上げられている。ある段の米俵の数はすぐ下の段の米俵の数よりも１つだけ少ないように積まれている。 積み上げられた段数が奇数であれば, 真ん中の段に積まれている米俵の数は
（全ての米俵の総数）÷（段数）
で求まる。
すると、真ん中の段の俵の個数が横の長さの長方形ができます。
ゆえに、米俵の個数を段数で割ると、真ん中の段の米俵の個数が分かります。
<事例>奇数
$\displaystyle 1, \ 3, \ 5, \ 7, \ 9, \cdots$
解説はこちら
奇数列は $\{2n-1\}_n$ と表わすことができる。
<事例>奇数の和
$1 + 3 + 5+ \cdots +(2n-1)=n^2$
解説はこちら
$1$ から $n$ 番目の奇数 $2n-1$ までの和は $n^2$ である. $$1 + 3 + 5+ \cdots + (2n-1) = n^2$$
奇数を次の図のように並べることで, $n$ 個の奇数の和は辺の長さが $n$ の正方形と見なせる。
したがって, 数の和は $n^2$ となります。
<事例>偶数
$\displaystyle 2, \ 4, \ 6, \ 8, \ 10, \cdots $
解説はこちら
偶数列は $\{2n\}_n$ と表わすことができる。
<事例>偶数の和
$\displaystyle 2 + 4 +6 + \cdots + 2n = n(n+1)$
解説はこちら
$1$ から $n$ 番目の偶数 $2n$ までの和は $n(n+1)$ である。 $$2 + 4 + 6+ \cdots + 2n = n(n+1)$$
偶数を下図のように長方形として並べる。左上の2つの黒丸が2を表し, 4つのオレンジの丸が4を表す。以下, 6, 8, 10まで表している。
この長方形は, $n$ 個の偶数を並べると, 縦の長さが $n$, 横の長さが $n+1$ となる。
ゆえに, $2$ から $n$ 番目の偶数までの総和は $n(n+1)$ となることが分かる。
有理数に関する等差数列について
<事例>分母が等しい分数
$\displaystyle \frac{1}{m}, \ \frac{2}{m}, \ \frac{3}{m}, \ \frac{4}{m}, \cdots , \ \frac{m-1}{m}, \ 1, \ \cdots$
解説はこちら
分母が $m \in \mathbb{Z}$ である有理数列は $\displaystyle \left\{ \frac{n}{m} \right\}_n$ と表わすことができる。
【コード】Pythonで等差数列を出力
等差数列の出力 (seqを作成)
等差数列をPythonで計算してみよう。
等差数列の作成
初項a, 公差d, 項数nを指定する。
iを $1$ から $n$ の範囲の変数として等差数列の式 $a + (i-1)d$ に繰り返し代入していくことで, リスト[]に等差数列の初項から第 $n$ 項までを格納する。
Pythonコード入力例. 初項 $1$, 公差 $2$ の等差数列を初項から第 $10$ 項まで出力する。
a = 1
d = 2
n = 10
seq = [a + d * (i - 1) for i in range(1, n + 1)]
print("等差数列:", seq)
数列の折れ線グラフの作成matplotlib.pyplot(seq)
Pythonのリストから折れ線グラフを作成する方法を習得しよう。
説明
グラフを描写するためにmatplotlibモジュールを利用する。
matplotlib.pyplotのplot()関数は, 引数にリストを入れることで折れ線グラフを作成する。
Pythonコード. リスト[2, 5, 3, 4, 6, 9]の折れ線グラフを作成する。
import matplotlib.pyplot as plt
lst = [2, 5, 3, 4, 6, 9]
# 折れ線グラフを描く
plt.plot(lst)
# グラフのタイトル・ラベル
plt.title("Line Graph")
plt.xlabel("Index")
plt.ylabel("Value")
# グラフの表示
plt.show()
等差数列の和の出力sum(seq)
Pythonのリストの合計を出力するsum()関数の使い方を習得しよう。
説明
sum()関数は、引数にリストを入れることで、リストの要素の合計値を出力する。
Pythonコード. [5, 7, 3, 4, 8]の要素の合計値を計算して出力する。
lst = [5, 7, 3, 4, 8]
sum(lst)
等差数列の和の出力（公式の利用）
等差数列の和をPythonで計算してみよう。
等差数列の和の計算
初項a, 公差d, 項数nを指定する。
等差数列の和の公式 $(2a + (n-1)d)/2$ を計算することで合計totalを求める。
Pythonコード入力例. 初項 $1$, 公差 $2$ の等差数列の初項から第 $10$ 項までの和を出力する。
a = 1
d = 2
n = 10
total = n * (2 * a + (n - 1) * d) // 2
print("等差数列の和:", total)
等差数列の和の数列の出力total=list(accumulate(seq))
Pythonのリストの初めからi番目までの和を並べて新しいリストを作るitertools.accumulate()関数の使い方を習得しよう。
説明
itertoolsモジュールを利用する。
accumulate()関数は, 引数にリストを入れることで, そのリストの0番目からi番目までの要素の合計値をi番目とするリストを作成する。
ただし, list()関数を適用しなければ, 実際のリストとして出力されない。
Pythonコード. [2, 7, 5, 3]のリストにaccumulate()関数を適用し新しいリストを作る。
from itertools import accumulate
lst = [2, 7, 5, 3]
result = list(accumulate(lst))
print(result)
等差数列の和の最大値と最小値の出力max(total) min(total)
Pythonのリストの要素の最大値と最小値を出力するmax()関数とmin()関数の使い方を習得しよう。
説明
max()関数とmin()関数は、引数にリストを入れることで、リストの要素の最大値、最小値を出力する。
Pythonコード. [2, 7, 5, 3]の要素の最大値と最小値を出力する。
lst = [2, 7, 5, 3]
max_value = max(lst)
min_value = min(lst)
print("最大値:", max_value)
print("最小値:", min_value)
数列の特定の値のindexの取得seq.index() total.index()
Pythonのリストの特定の要素が何番目からあるかを出力するindex()関数の使い方を習得しよう。
説明
index()関数は, リスト名.index()として引数に何番目かを検索する要素を入力することで, その要素が何番目にあるかを出力する。
※注１: 検索する要素が複数ある場合, はじめにあるものの番号が出力される。
※注２: リストは $0$ 番目からカウントするため注意する。
Pythonコード. リスト[2, 7, 5, 3]で5が何番目にあるかを出力する。
lst = [2, 7, 5, 3]
index_5 = lst.index(5)
index_5_1 = lst.index(5)+1
print("5が何番目か（0からカウント）:", index_5)
print("5が何番目か（1からカウント）:", index_5_1)
等差数列の和の最大・最小の観察
等差数列の和が最大や最小になるときの $n$ をPythonで観察してみよう。
等差数列の和と最大/最小の出力
等差数列を定義する。例えばseqとする。
等差数列の和の数列のリストはlist(accumulate(seq))で出力できる。例えばtotalとする。
matplotlib.pyplotのplot(total)で等差数列の和の折れ線グラフを作成する。
max(total)で等差数列の和の最大値を出力する。例えばmax_valueとする。
total.index(max_value)+1で等差数列の和が最大を取る番号を出力する。
Pythonコード入力例. 初項 $221$, 公差 $-6$ の等差数列の和のグラフを作成し, 最大値と何項目であるかを出力する。
from itertools import accumulate
import matplotlib.pyplot as plt
a = 221
d = -6
n = 50 #何項目までのグラフを作成するか（調整する）
seq = [a + d * (i - 1) for i in range(1, n + 1)]
total = list(accumulate(seq))
plt.plot(total)
max_value = max(total)
index_max = total.index(max_value)+1
plt.show()
print(f"数列の和の最大値は n={index_max} のときの {max_value}")
まとめノート
「等差数列」とは
隣り合う数の差がいつも等しい数列のこと。
定義
任意の $n$ について,
$a_{n+2} - a_{n+1} =a_{n+1} - a_n$
が成り立つ.
漸化式
公差を $d$ とおくと, $a_{n+1} - a_n = d$ が得られる.
A. 等差数列の一般項
$a_n = a_1 +(n-1)d$
B. 等差数列の和の公式
$\displaystyle S_n = \frac{1}{2}n (a_1 + a_n)$ $\displaystyle =\frac{1}{2}n \{ 2a_1+(n-1)d\}$
C. 等差中項の関係
実数 $a$, $b$, $c$ について, この順で等差数列である $\Leftrightarrow$ $2b = a+c$.
調和数列
逆数の数列 $\{1/b_n\}$ が等差数列である数列 $\{b_n\}$ のこと.
D. 調和数列の一般項
等差数列 $\{a_n\}$ を用いると, $\displaystyle b_n = \frac{1}{a_n} = \frac{1}{a_1 + (n-1)d}$ とできる.
ポイント解説
例
$1$, $3$, $5$, $7$, $9$, $\cdots$（奇数）
・漸化式：$a_{n+1} - a_n = 2$
・一般項：$a_n = 2n-1$
・和の式：$S_n = n^2$
A
植木算の考え方に対応する。
B
初項と末項の和 $a_1+a_n$ を $n$ 個分足すと $2S_n$ に対応する。
末項の $a_n$ に $a_1 +(n-1)d$ を代入することで, 最後の式が得られる。
C
等差数列の定義式 $c-b=b-a$ を変形した式である。
