- 目次
- 理解
- コード
- まとめ
【理解】二項分布とは
ベルヌーイ分布・二項分布について
ベルヌーイ分布 $B(1,p)$
試行したときに成功する確率を $p$ とします。すると, 失敗する確率は $q=1-p$ となります。
<定義>ベルヌーイ分布
$B(1,p)$
解説はこちら
<ベルヌーイ分布>期待値
$E[X]=p$
証明はこちら
<ベルヌーイ分布>分散
分散 $V[X]=p(1-p)$
証明はこちら
<ベルヌーイ分布>標準偏差
$\sigma[X]=\sqrt{p(1-p})$
証明はこちら
二項分布 $B(n,p)$
１回だけ試行したときに成功する確率を $p$ とします。すると, 失敗する確率は $q=1-p$ となります。
<定義>二項分布 $B(n,p)$
$$P(X=r) = {}_n \mathrm{C}_rp^r(1-p)^{n-r}$$
解説はこちら
<命題>反復試行と二項分布
$\begin{aligned}
&X_1, \ldots , X_n \sim B(1,p) \\
& \Rightarrow X_1 + \ldots +X_n \sim B(n,p)
\end{aligned}$
証明はこちら
<二項分布>期待値
$E[X]=np$
証明はこちら
<二項分布>分散
$V[X]=np(1-p)$
証明はこちら
<ベルヌーイ分布>標準偏差
$\sigma[X]=\sqrt{np(1-p})$
証明はこちら
二項分布の事例について
<事例>メレ氏の賭博
$B(24, 1/36)$
解説はこちら
2個のサイコロを24回振るとき, 6のゾロ目が少なくとも1回出るかどうかに賭けるか否かという問題。
シュパリエ・ド・メレ氏はこの賭博に失敗した。
<事例>ゴルトンボード
二項分布・正規分布
詳細はこちら
【コード】Pythonで二項分布を表示
二項分布のヒストグラムの表示
二項分布 $B(n,p)$ のヒストグラムをPythonで出力してみよう。
二項分布の出力
試行回数nと成功確率pによって二項分布 $B(n,p)$ を定める.
scipy.statsのbinom.pmf()によって, 二項分布のそれぞれの確率を計算する.
matplotlib.pyplotで棒グラフ.barを描くことでヒストグラムを作成する.
Pythonコード.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import binom
# 二項分布の情報
n = 100 # 試行回数
p = 0.3 # 成功確率
# 二項分布を表示
x_values = np.arange(0, n + 1)
binomial_probs = binom.pmf(x_values, n, p)
plt.bar(x_values, binomial_probs, color='y', alpha=0.7, label = "Binomial-distribution")
# グラフの表示
plt.legend() #凡例表示
plt.xlabel("Number of Successes")
plt.ylabel("Probability")
plt.title(f"Binomial Distribution (n={n}, p={p})")
plt.grid(True)
plt.show()
二項分布のグラフの形状の比較
二項分布を表示するコードを紹介します。
二項分布 $B(n, p)$ の試行回数 $n$ と成功確率 $p$ を変えて、分布の形の違いを観察しました。
二項分布のコード【Python】
二項分布のPythonコード
次のコードを入力すれば、二項分布を表示できます。
「二項分布の情報」の $n$ と $p$ の数値を変えて、任意の二項分布が作成できます。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import binom
from scipy.stats import norm
# 二項分布の情報
n = 100 # Number of trials
p = 0.3 # Probability of success
# 二項分布を表示
x_values = np.arange(0, n + 1)
binomial_probs = binom.pmf(x_values, n, p)
plt.bar(x_values, binomial_probs, color='y', alpha=0.7, label = "Binomial-distribution")
# Other Informations
plt.legend() #凡例表示
plt.xlabel("Number of Successes")
plt.ylabel("Probability")
plt.title(f"Binomial Distribution (n={n}, p={p})")
plt.grid(True)
plt.show()二項分布の表示結果
【観察】二項分布の試行回数の変更
観察開始（Pythonコード）
試行回数 $n$ を変えて、二項分布 $B(n, 0.3)$ の形状を観察しました。
試行結果
試行回数 $n$ が 1から5までの間の二項分布を並べて観察しましょう。
試行回数が少ないときの二項分布
最後に、試行回数が $n=100$ のとき（再掲）と、$n=1000$ のときの二項分布の形状を掲載します。
$n=100$ の二項分布
$n=1000$ の二項分布
二項分布って、こんなものです！
まとめノート
「二項分布」とは
硬貨を何枚か同時に投げて表が出る回数を表す確率分布のこと。
記号
試行回数 $n$, 確率 $p$ の二項分布を
$B(n, p)$
と書く.
A. 二項分布の確率分布
確率 $p$ の事象が $k$ 回起こる確率は次の通り：$$P(X=k) = {}_n \mathrm{C}_k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$$
B. ベルヌーイ分布
$0$ か $1$ が起こることをベルヌーイ試行という. ベルヌーイ分布は $B(1,p)$ であり, 確率変数を $Y$ とすれば, 期待値 $E[Y] = p$, 分散 $V[Y]=p(1-p)$ である.
C. 期待値と分散
①$E(X) = np$
②$V(X) =np(1-p)$
D. 二項分布の正規分布近似
二項分布 $B(n,p)$ は $n$ が大きいとき, 正規分布 $N(np, np(1-p))$ に近似できる.
ポイント解説
A
確率分布は $0 \sim n$ の範囲で,
$np$ 周辺でピークの山型のヒストグラム
になる.
B
ベルヌーイ試行の確率分布：
| $Y$ | $1$ | $0$ | 計 |
| $P(Y)$ | $p$ | $1-p$ | $1$ |
ベルヌーイ分布に従う確率変数の和 $X=Y_1 + \cdots + Y_n$ は $B(n,p)$ に従う.
C
$P(X=k)$ の確率分布から直接証明する, もしくはベルヌーイ試行の繰り返しで証明する.
Excel
4つの引数を入力；
BINOM.DIST(成功回数 $k$, 試行回数 $n$, 成功確率 $p$, 関数形式)
※関数形式；TRUE→下側累積確率, FALSE→ $P(X=k)$ の値を出力する.
