- 目次
- 理解
- コード
- まとめ
【理解】組合せの数学的解説
組合せの定義と意味について
$\displaystyle {}_n \mathrm{C}_r =\binom{n}{r} := \frac{n!}{(n-r)! \cdot r!}$
Column. 組合せ ${}_n\mathrm{C}_r$ の意味
※ ${}_n\mathrm{C}_0 = 1$
※ ${}_0\mathrm{C}_0 = 1$
階乗、順列と組合せで $0!$, ${}_n\mathrm{P}_0$, ${}_n\mathrm{C}_0$ がナゼ 1 であるのかを確かめましょう。
順列の計算記号と組合せの計算記号の考え方を、「順列と組合せ」の意味を通して理解すること、文字の定義域として許される値を正確にきちっと整理する、が目標です。
階乗と順列、組合せの意味が分かる！
階乗と順列、組合せの定義式と意味
場合の数の単元は、並べたり選んだりする単元です。何を並べたり選んだりするかによって単位が変わります。今回は「人」を並べたり選んだりすることに統一します。
階乗（factorial）
階乗とは、$n \geqq 1$ としたときの、
$$n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1$$
のことです。
中学校で学ぶ樹形図の考え方を思い出せば、$n!$ は、
$n$人の人物が並ぶときの並び方の総数
という意味になります。
$$n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1$$
順列（permutation）
順列とは、次のように並べることを言います。
何人かの中から、数人選び、並べること
これが順列の意味です。
この並べ方を計算式にしましょう。
$n$ 人の中から、$r$ 人を選び並べる場合の数を求めるときは、
$$\frac{n!}{(n-r)!}$$
という計算になります。この計算式は ${}_n {\mathrm P}_r$ という記号で表します。
また、これは次のようにもなります。
$$n \times (n-1) \times \cdots \times (n-r+1)$$
$${}_n {\mathrm P}_r = \frac{n!}{(n-r)!}=n \times (n-1) \times \cdots \times (n-r+1)$$
組合せ（Combination）
組合せとは、次のように選ぶことを言います。
何人かの中から、数人選ぶこと
これが組合せの意味です。
この選び方を計算式にしましょう。
$n$ 人の中から、$r$ 人選ぶことの場合の数を求めるときは、
$$\frac{n!}{(n-r)! \times r!} = \frac{{}_n{\mathrm P}_r}{r!}$$
という計算になります。この計算式は ${}_n {\mathrm C}_r$ という記号で表します。
また、これは次のようにもなります。
$$\frac{n \times (n-1) \times \cdots \times (n-r+1)}{1 \times 2 \times \cdots r}$$
$$\begin{aligned}
{}_n {\mathrm C}_r & \displaystyle = \frac{{}_n{\mathrm P}_r}{r!} \\
& \displaystyle =\frac{n!}{(n-r)! \times r!} \\
& \displaystyle =\frac{n \times (n-1) \times \cdots \times (n-r+1)}{1 \times 2 \times \cdots \times r} \\
\end{aligned}$$
この順番にしっかりと注意しておいてください。
階乗と順列、組合せの定義式の条件の注意
何か気にしていないことに気付かないでしょうか？
そうです。$n$ と $r$ の条件を決めていません。階乗の式は、$1 \leqq n$ の自然数と定めましたが、他の式はどうでしょうか？
全ての式を俯瞰して、条件を吟味しましょう。
- 全ての公式に、$n!$ がある→全ての公式で $1 \leqq n$ である
- 順列の公式は、$r=n$であると、分母に $0!$ が現れる→ $r < n$ が必要である（この時点では、なんと ${}_n {\mathrm P}_n$ の計算は定義式から導けない！）
- 組合せの公式は、$r=n$ や $r=0$ であると、分母に $0!$ が現れる→ $0 < r <n$ が必要である（この時点では、なんと ${}_n {\mathrm C}_n$ の計算は定義式から導けない！）
実は、この段階では、$0!$ や ${}_n {\mathrm P}_n$, ${}_n {\mathrm P}_0$ , ${}_n {\mathrm C}_n$, ${}_n {\mathrm C}_0$ の値は定義の公式から導くことができません。
これでは困りますね。。←なぜ、困るでしょうか？
例えば、${}_n {\mathrm C}_n$ という $n$ 人全員を選ぶ計算が同じ式で出来ません。
${}_n {\mathrm P}_n$ と $n!$ の意味
公式の意味を考えて、$0! = 1$ 等を作っていきましょう。
まず、${}_n {\mathrm P}_n$ と $0!$ からです。
順列の公式は、$1 \leqq n$ かつ $1\leqq r < n$ のとき、
$${}_n {\mathrm P}_r = \frac{n!}{(n-r)!}$$
でした。
$r=n$ のとき $\displaystyle {}_n {\mathrm P}_n = \frac{n!}{0!}$ となってしまいます。
${}_n {\mathrm P}_n$の数式を計算するのではなく、「意味」を使います。
$n$ 人の中から $n$ 人を選び、並べる総数
$n!$ の意味も同じく次の意味でした。
$n$人の人物が並ぶときの並び方の総数
この意味に沿うように数式の値を決めます！
${}_n {\mathrm P}_n$ と $n!$ は同じものだから、$$n! = \frac{n!}{0!}$$ です。
この式から、$0! = 1$ と定めないと、整合性が保てないことになります。
$0 \leqq n$ のときの $n!$ と、$1 \leqq n$ と $1 \leqq r \leqq n$ のときの ${}_n {\mathrm P}_r$ を定めることができました。
意味も理屈も何も矛盾しないようにするためには、数式の中に登場する $0!$ を $1$ と解釈することが必要になります。
$0! = 1$ という式は「ゼロとビックリマークとイチ」という数字の関係ばかり見ていると全く理解できない式です。ただ、「順列の意味」を見てあげると完璧な数式と見えるようになります。
${}_n {\mathrm P}_0$ の意味
$0!=1$という式を手に入れました。$r=0$ として、${}_n {\mathrm P}_0$ を考えましょう。
$${}_n {\mathrm P}_0 = \frac{n!}{(n-0)!} = \frac{n!}{n!} = 1$$
となり、なんの疑問もなく計算できます。だから、${}_n {\mathrm P}_0=1$ です。
次に、${}_n {\mathrm P}_0=1$ の意味を考えます。
そもそも ${}_n {\mathrm P}_0=1$ に意味なんてあるのでしょうか？
$n$ 人の中から、誰も選ばずに、並べる場合の数の総数は「1」通り
つまり、何も選ばないという場合の1通りが ${}_n {\mathrm P}_0$ の計算結果と合致しています。
${}_n {\mathrm P}_0$ は「計算的」にも「順列の意味的」にも「1」が妥当と分かりました。
$1 \leqq n$ と $0 \leqq r \leqq n$ のときの ${}_n {\mathrm P}_r$ を定めることができました。
${}_n {\mathrm C}_n$ と ${}_n {\mathrm C}_0$ との意味
$0! = 1$ を使って、${}_n {\mathrm C}_n$ の値も ${}_n {\mathrm C}_0$ の値も計算しましょう。
ただし、$1 \leqq n$ かつ $0 < r < n$ でした。
$${}_n {\mathrm C}_n = \frac{n!}{n!(n-n)!} = \frac{n!}{n! \times 0!} = 1$$
$${}_n {\mathrm C}_0 = \frac{n!}{0!(n-0)!} = \frac{n!}{0! \times n!} = 1$$
すなわち、${}_n {\mathrm C}_n = {}_n {\mathrm C}_0 =1$ が得られます。
これより、組合せの ${}_n {\mathrm C}_r$ も、$1 \leqq n$ で $0 \leqq r \leqq n$ のときに定めることができました。
さて、この計算結果は、組合せの意味と合致しているでしょうか？
$n$ 人の中から $n$ 人を選ぶことは、全員を選ぶという意味で「1」通りだけ
したがって、${}_n {\mathrm C}_n$ の計算結果と、組合せは合致しています。
$n$ 人の中から $0$ 人を選ぶことは、誰も選ばないという意味で「1」通りだけ
こちらも、${}_n {\mathrm C}_0$ の計算結果と、組合せは合致しています。
階乗と順列、組合せの意味と計算のまとめ
階乗の $0! = 1$ という式は、計算で自動的に求まるのではありません。
階乗や順列、組合せの公式は、元来の意味を合わせて考慮することで、${}_n {\mathrm P}_r$ も ${}_n {\mathrm C}_r$ も便利な公式になるのです。
不思議な式ですが、意味と数式の整合性を保つことから、$0! = 1$ が決まります。
$0!=1$ が自然な式としか思えなくなります。
今回は、$n=0$ のときの、${}_0 {\mathrm P}_0$ と ${}_0 {\mathrm C}_0$ の計算はしていませんが、是非自分で考えてみてください。
ここまで、お読みいただき、ありがとうございます。
組合せに関する公式について
$\displaystyle {}_n \mathrm{C}_r = {}_n \mathrm{C}_{n-r}$
$\displaystyle {}_{n+1} \mathrm{C}_{r+1} = \frac{n+1}{r+1} {}_n \mathrm{C}_{r}$
$\displaystyle {}_{n+1} \mathrm{C}_{r+1} = {}_n \mathrm{C}_{r} + {}_n \mathrm{C}_{r+1}$
応用的な並べ方について
［重複組合せ］$n$ 種類のものから $r$ 個を選ぶ際, 同じものを重複しても良いときの組合せの総数（準備中）
$\displaystyle {}_n \mathrm{H}_r = {}_{(n-1)+r} \mathrm{C}_r$ (通り)
具体的な並べ方について
［部屋分け］$n$ 人を, $x$ 個の部屋に $s_1$ 人, $s_2$ 人, $\cdots$, $s_x$ と分ける分け方
${}_n\mathrm{C}_{s_1} \cdot {}_{n-s_1}\mathrm{C}_{s_2} \cdots {}_{n-s_1-s_2-\cdots s_{x-1}}\mathrm{C}_{s_x}$ (通り)
［例］9人をA, B, Cの部屋に分ける。
9人から3人を選んでAの部屋に入れる組合せは ${}_9 \mathrm{C}_3$ 通り。
残りの6人からBの部屋に入れる3人を選ぶ組合せは ${}_6 \mathrm{C}_3$ 通り。
最後の3人をCの部屋に入れる組合せは ${}_3 \mathrm{C}_3$ 通り。
よって, 9人をA, B, Cの部屋に分ける組合せの総数は
${}_9 \mathrm{C}_3 \cdot {}_6 \mathrm{C}_3 \cdot {}_3 \mathrm{C}_3$ (通り)
である。
［グループ分け］$n$ 人を $s_1$ 人, $s_2$ 人, $\cdots$, $s_x$ 人ずつの $x$ 個のグループに分ける分け方
$(\text{部屋分けの分け方の総数})$ $\div \{(\text{同じ人数のグループ数})! (\text{同じ人数のグループ数})! \cdots\}$ (通り)
［例］9人をA, B, Cの部屋に分ける場合は
${}_9 \mathrm{C}_3 \cdot {}_6 \mathrm{C}_3 \cdot {}_3 \mathrm{C}_3$ (通り)
である。
部屋の区別をなくす必要があり, それは $3!$ だけある。
したがって, グループ分けの総数は
${}_9 \mathrm{C}_3 \cdot {}_6 \mathrm{C}_3 \cdot {}_3 \mathrm{C}_3$ $\div 3!$
である。
【コード】Pythonで組合せの計算
組合せmath.comb()の出力
組合せの値をPythonで計算してみよう。
組合せの値
数学の関数を利用するためにmathモジュールを利用する。
組合せはmath.comb()関数を利用する。${}_n \mathrm{C}_r$ を計算する場合は, comb(n, r)とする。
Pythonコード入力例. ${}_{10} \mathrm{C}_4$ の値を出力する。
import math
print(math.comb(10,4))
まとめノート
「組合せ」とは
いくつかのものからいくつかを選ぶ選び方のこと。
定義
$\displaystyle \binom{n}{r} = {}_n \mathrm{C}_r = \frac{n!}{(n-r)! \cdot r!}$
$\displaystyle = \frac{n \cdot (n-1) \cdots (n-r+1)}{1 \cdot 2 \cdot 3\cdots (r-1) \cdot r}$. ここで, $n$ と $r$ は $r \leqq n$ を満たす自然数である.
A. 組合せの計算の意味
$n$ 個のものから $r$ 個を選ぶ組合せの総数は ${}_n \mathrm{C}_r$ に一致する.
B. 重複組合せ
$n$ 種類のものから $r$ 個を選ぶ際, 同じものを重複してもよいときの組合せの総数は ${}_{n}\mathrm{H}_r={}_{(n-1)+r}\mathrm{C}_r$ に一致する.
C. 組合せの性質
①${}_n \mathrm{C}_r = {}_n \mathrm{C}_{n-r}$
②${}_{n+1} \mathrm{C}_{r+1} = {}_{n} \mathrm{C}_{r} + {}_{n} \mathrm{C}_{r+1}$
③${}_{n+1} \mathrm{C}_{r+1} = \frac{n+1}{r+1} \cdot {}_{n} \mathrm{C}_{r}$
D. 部屋分け・グループ分け（例）
- $9$人をA, B, Cの部屋に分ける場合：${}_9 \mathrm{C}_3 \times {}_6 \mathrm{C}_3 \times {}_9 \mathrm{C}_3$ 通り
- $9$人を $3$人ずつ $3$つのグループに分ける場合：$(1) \div 3!$ 通り
ポイント解説
注意
${}_n \mathrm{C}_0 = \frac{n!}{n! \cdot 0!} = 1$ より
${}_n \mathrm{C}_0=1$
である. 特に,
${}_0 \mathrm{C}_0=1$
である.
A
$4$個のものから $3$個を選ぶ場合；順列の総数 ${}_4 \mathrm{P}_3 = 24$ 通りのうち, $3!$ 通りずつが同じ組合せなので, ${}_4 \mathrm{P}_3/3!={}_4 \mathrm{C}_3$.
B
$2$種類のものから $3$個を選ぶ場合；選ぶ $3$個の種類を $2-1=1$つの仕切りで区別する ${}_{3+1}\mathrm{C}_2$ 通りに一致する.
D
(1) $9$人からAの $3$人を選び, 残りの $6$人からBの $3$人を選び, 最後の $3$人をCに入れる計算. (2) 部屋の区別をなくせばよいので, 部屋の選び方の総数 $3!$ で割る.
発展
ベータ関数 $\mathrm{B}(z,w)$ は2変数関数で $\mathrm{B}(n-r, r)=\frac{\Gamma(n-r)\Gamma(r)}{\Gamma(n)} = \frac{1}{{}_n\mathrm{C}_r}$ を満たすので, 組合せの拡張と言われる.
