- 表紙
- まとめ
数学のまとめ
「位相空間」とは
位相（トポロジー）をもつ空間で, 位相不変の幾何学のこと。
A. 位相空間(Topological space)
集合 $X$ と部分集合族 $\mathscr{O} \subset \mathscr{B}(X)$ が次を満たすとき $(X, \mathscr{O})$ を位相空間といい, $\mathscr{O}$ を位相, その元 $O \in \mathscr{O}$を開集合という；
- $\emptyset, X \in \mathscr{O}$
- ${}^{\forall} O_1, O_2 \in \mathscr{O}$, $O_1 \cap O_2 \in \mathscr{O}$
- $\displaystyle {}^{\forall} \{O_{\lambda} \}_{\lambda \in \Lambda} \subset \mathscr{O}$, $\displaystyle \bigcup_{\lambda \in \Lambda} O_{\lambda} \in \mathscr{O}$
連続写像
位相空間 $(X, \mathscr{O}_X)$ と $(Y, \mathscr{O}_Y)$ について, 写像 $f: X \to Y$ が ${}^{\forall} O \in \mathscr{O}_X$ $\Rightarrow$ $f(O) \in \mathscr{O}_Y$ を満たすとき, 連続写像という.
B. 同相(Homeomorphism)
写像 $f: (X, \mathscr{O}_X) \rightarrow (Y, \mathscr{O}_Y)$ が全単射かつ $f$ も 逆写像 $f^{-1}$ がいずれも連続写像のとき, 写像 $f$ を同相写像という. そして, 2つ位相空間を同相(位相同型)といい, $(X, \mathscr{O}_X) \cong (Y, \mathscr{O}_Y)$ と表す.
C. 位相不変量(Topological Invariant)
位相空間上で定義されるある量 $\chi$ について, $X \cong Y$ ならば $\chi(X) = \chi(Y)$ を満たすとき $\chi$ を位相不変量という.
ポイント解説
A
開集合は点の近さ・遠さを定める概念である. 例えば, 開集合 $O_1$ と $O_2$ と点 $x$ が $x \in O_1 \subset O_2$ ならば
"$O_1$ は $O_2$ よりも $x$ に近い点の集まり"
と解釈する.
連続写像
$X$ で近い点の集まりは, $Y$ でも近いままという意味であり,
連続写像はゴムのように近遠を保ちながら形状を変える
関係を記述するものと理解できる.
B
同相なものは
"同じ形"
とみなす.
C
例えば, コーヒーカップとドーナツが
ゴム状であらば, 他方にグネグネと変形できる
(同相). この変形の過程では,
取っ手の穴とドーナツの穴は穴のまま
であり, これが位相不変量である.
