- 表紙
- 単元
- 常識
- 理解
- 別解
- 表計算
- 補足
- 附録
今日の授業
複利で勘定しよう！
年利10%で100万円預けた場合に, 10年後の資産はいくらだろうか。
単元のまとめ
複利法
常識
複利法は、元金と利子（利息）の合計額を、次期の元金として計算する方法です。
利率
年利 $r$ の複利で資産運用を考える.
預けっぱなし投資
$a$ 円を預けた場合，$n$ 年後の預金額の計算式は次の通り：
$$a(1 + r)^n$$
積み立て投資
毎年 $a$ 円の同額ずつ積み立てて預けた場合，$n$ 年後の預金額の計算式は次の通り：
$$\frac{a \{ (1 + r)^{n+1} - 1 \}}{r}$$
この $n$ 年後の式は,
$n$ 年後の利子を貰って, この年の投資金も含めたトータルの金額である.
計算
| 意味 | 預金 |
|---|---|
| 積立額 $a$ | 10万円 |
| 利率 $r$ | 0.01（1%） |
| $1 + r$ | 1.01 |
| $n$ 年後 | 30 |
豆知識
Compound interest is the 8th wonder of the world.
by Albert Einstein
He who understands it, earns it… he who doesn't…pays it.
複利法の使いどころ
現代の金利事情（2023.11.30）
貯金、投資、保険、ローン、借金…
いま現在の銀行の「金利」は、どれくらいなのか調べてみました。
金利は「年利〇〇%」で表記することが通例のようです！
◇主要銀行の金利比較
すべて「通常貯金（普通預金）」に対する金利です。
※他の貯金の仕方だと"少し"金利が高い場合があります！
- ゆうちょ銀行→「0.001%」（金利一覧-ゆうちょ銀行）
- みずほ銀行→「0.001%」（預金金利・利率｜みずほ銀行）
- UFJ銀行→「0.0010%」（円預金金利｜三菱UFJ銀行）
- 三井住友銀行→「0.001%」（円預金金利：三井住友銀行）
- りそな銀行→「0.001%」（円預金金利|口座を開きたい｜りそな銀行）
※すべて2022年11月30日現在の情報*
Wow!!ぜんぶ金利低すぎるorz
不景気ですね。
もうちょっとだけ興味が湧きました。
ネット系の銀行を調べました。
もう少し銀行の金利比較
- PayPay銀行→残高100万円未満「0.001%」, 残高100万円以上「0.001%」（円預金金利・預金金利-PayPay銀行）
- 楽天銀行→「0.02%」（定期預金や外貨預金の預金金利｜楽天銀行）
※すべて2022年11月30日現在の情報*
まあ、金利低いですね。
通常貯金ではなく、「定期預金」をザッと見ると、「0.002%」の金利でした。
バブルの頃は、定期預金が年利5%を越えていたようです。
（今の時代では信じられないですね！）←生まれてないので。
積立貯金をするときの複利
まず，複利の計算に必要な情報を整理する。
毎年同じ金額を積み立てて預金したとき、○○年後には預金額（元利合計額）はいくらになっているか？
次の表の情報から、未来の元利合計額が算出する。
| 意味 | 例（預金） | 例（借金） | 文字 |
|---|---|---|---|
| 発生額（&積立額） | 10万円 | 50万円 | $a$ |
| 利率 | 0.01（1%） | 0.1（10%） | $r$ |
| $1 + r$ | 1.01 | 1.1 | $b$ |
| 何年後か？ | 30年後 | 30年後 | $n$ |
金利の付け方の整理
◇単利法
単利法は自分が預けたお金（預金額-元金）にしか「利子」が付きません。
国債などの金利は、単利だそうです。
◇複利法
複利法は、自分が預けたお金と、得た利子に対しても、さらに「利子」がつきます。
銀行の預金などの金利は、複利だそうです。
◇単利と複利の違い
単利と複利の言葉だけ聞いていても、単利と複利の違いがあまり判りません。
■単利の計算例
〜例えば（金利10%で100万円預けた場合）〜
100万円預けた場合
→1年後の利子（1,000,000×0.1）→利子「10万円」です。
→2年後の利子→変わらず利子「10万円」です。
■複利の計算例
〜例えば（金利10%で100万円預けた場合）〜
→1年後の利子（1,000,000×0.1）→利子「10万円」です。
→2年後の利子（1,100,000×0.1）→変わらず利子「11万円」です。
※単利も複利も説明を容易にするために、利子を高めの10%にしました。
計算するときは「10%=0.1」にしてくださいね！
ちなみに「0.001%」というのは、計算の際は「0.00001」にします。
かなり低い数値ですね。
いま「10%」という幻の金利で計算しました。
「1年で1万円」の差がでました。
しかし、単利と複利は、長期的に見た方が、その違いが非常に顕著に見えます。
複利法の理解
預けっぱなしの複利法の公式
問．はじめだけお金を預けて、寝かせっぱなしにしたとき、○○年後には預金額（元利合計額）はいくらになっているか？
複利式の金利計算（導出）
複利式の金利は「残高 × 利率」で計算できます！
例えば、10万円が残高のとき、利率が 0.01（1%）のとき、
- 10万円 × 0,01 = 1,000円 【金利】
- 10万円 + 1,000円 【元利合計額】
ということです。
もしくは、
- 10万円 × 1.01 = 101,000円 【元利合計額】
でスグに計算OKです！
コツコツ計算【30年後の積立額は？】
積立貯金の計算の仕方
利率は１％（0.01）で、はじめに10万円預けたとします。
来年度は、さきほど計算したように、10万1千円です。
- 10万円 × 1.01 = 101,000円 【１年後利子付き】
積み立てなので、また10万円を預けます。
- 10万1千円 + 10万円 = 201,000円 【１年後利子+積立込】
これで１年目の預金額が計算できました。
２年目に話を進めます。
２年目は、今の残高（20万1千円）に利子が付くので、
- 20万1千円 × 1.01 = 203,010円 【２年後利子付き】
ここで積み立て金の１０万円を預けます。
- 20万1100円 + 10万円 = 301,100円 【２年後利子+積立込】
これで２年目の預金額が計算できました。
で、30年後まで計算したければ、この計算を３０回繰り返していくわけですね。。。
ムリっ！
ポイント【なんだ天才じゃん！】
残高から、金利を計算して、積み立てて、
その残高から、また金利を計算して、積み立てて、
って計算を先ほどコツコツしました。
少し発想の転換をします。
「一人が毎年コツコツ積み立てる」
から
「毎年、別々の人が同じ口座に同じ額を振り込む」
と考えてみる
→ 銀行の立場から見ると同じことですね！（現実ではしちゃダメ！）
30年間続けてみよう。
【１人目の気持ち】
「10万円あずけた。」
「30年後どうなってるのかな？」
→ 10万円 × $(1.01)^{30}$ 【元利合計額】
【2人目の気持ち（1年後に預ける人）】
「10万円あずけた。」
「29年後どうなってるのかな？」
→ 10万円 × $(1.01)^{29}$ 【元利合計額】
【3人目の気持ち（2年後に預ける人）】
「10万円あずけた。」
「28年後どうなってるのかな？」
→ 10万円 × $(1.01)^{28}$ 【元利合計額】
・・・
【30人目の気持ち（29年後に預ける人）】
「10万円あずけた。」
「来年どうなってるのかな？」
→ 10万円 × $1.01$ 【元利合計額】
【31人目の気持ち（30年後に預ける人）】
「10万円あずけた。」
「俺が預けて終わりだ！」
→ 10万円 のまま 【元利合計額】
全員の【元利合計額】の合計が銀行に預けた30年後のトータルの金額ですね。
- 10万円 × $(1.01)^{30}$ 【初代】 + 10万円 × $(1.01)^{29}$ 【二代目】+ 10万円 × $(1.01)^{28}$ 【三代目】+ ・・・+10万円 × $1.01$ 【三十代目】+10万円 【三十一代目】
$b = r + 1 = 1.01$ とだけ置き換えてあげます。
- 10万円 × $b^{30}$ + 10万円 × $b^{29}$ + 10万円 × $b^{28}$ + ・・・+10万円 × $b$ +10万円
ややこしい計算ですが、実は、この計算はスッキリな形にできることが知られています。
高校生向け；
初項 $a=$10万, 公比 $b=1.01$, の等比数列の初項から第31項目までの和
$$\sum_{n=1}^{n=31}ab^n = a\frac{b^{31}-1}{b-1}$$
大人の皆さんは、次のことでイメージだけを持つことができます！
本当に理解する場合は、【高校生向け】のところに書いたことの勉強・必です。
大人向け；
分配法則の $(b + 1)(b - 1) = b^2 - 1$ って式は覚えていますか？【中１】
「ｂ＋１」「ｂ－１」＝「$b^2$-1」って式は、
$$b + 1 = \frac{b^2 - 1}{b-1}$$
とできます。
同様に、$(b^2 + b + 1)(b - 1) = b^3 - 1$ って式もあります。
「$b^2 + b + 1$」「ｂ－１」＝「$b^3$-1」って式は、
$$b^2 + b + 1 = \frac{b^3 - 1}{b-1}$$
同じように、
$$b^{31} + ・・・ + b + 1 = \frac{b^{31} - 1}{b-1}$$
って感じです。これに「10万円」が前につきます。
まとめ!
30年後の元利合計額（30人が別々に預けた金額の合計額）は、
$$100,000 \times \frac{b^{31} - 1}{b-1}$$
数学の公式は、次の形をしている。
$$\frac{a(b^{n+1} - 1)}{b-1}$$
別証明（漸化式版）
複利式で積立の場合、その条件式は、「次年度の残高=今年度の残高×利率 + 積立金」でした。
漸化式の発見！
この式を書き直してみます。
$$a_{n+1} = (1+r)a_n + q$$
どっかで見たことありますね。
$p = 1+r$ とおくと、$a_{n+1} = pa_n +q$ です。
（$p$ でも $b$ でも良いです。）
→ そう、教科書に載ってる漸化式！ですね。
具体的な数値を入れてみると、$a_{n+1} = 1.01 a_n + 100,000$ で、初項は $a_1 = 100,000$ です。
もう教科書に載っている問題です！
漸化式の意味
特性方程式を立てて計算します。
$x = 1.01x +100,000$ → $x = -10,000,000$
これで特性型の漸化式の計算していくと、先ほどと同じ式ができます。
Point!!
教科書にある漸化式 $a_{n+1} = pa_n +q$ を、複利式の金利の意味で解釈すると、
「$(n+1)$年目の残高」は 「$n$年目の残高に利率（$1+r$）をかけて積立金を合算した金額」と一致する
と言えます。
特性方程式で文字に置くけど
ちなみに、「$x$」って置きますけど、これなんなんでしょうっていつも思いますよね。
$x = (1+r)x +q$ の解のことですので、計算してみると、
$x = x + rx + q$
$rx = q$
$$x = -\frac{q}{r}$$
です。
言葉で書き換えると、
$x$ は、「利率」分の「積立金額」にマイナスを付けたものです。
複利シミュレーション
※Excel・Number・Googleスプレッドシートで作成可能です。今回は，iPhoneでできるNumbersで紹介します！
シミュレーションシステム
お題
A銀行の年利が複利式で「0.001%」でした。
あなたのお年玉を預けました。
30年後に預金を引き出すとすると、いくらになっているでしょうか？
次のようなシミュレーションシステムを作ります。
『左側の条件の表（の黄色のトコロ）に必要事項を入力すると、
右側に自動的に未来の預金額が算出できるシステム』です！
今の画面は，次の条件で複利を計算しています；
例えば、預けるのを10万円の定期預金に替えて、利率を0.002%に変更します。黄色いところだけ変更します。
簡単に30年後の預金額が算出できました♪( ´▽｀)パチパチ
システム作成
Numbersで解説しますが，ExcelもしくはGoogleスプレッドシートでも同様に作成可能です。
◇STEP①
Numbersに次のように打ち込んでください。そのまま同じように打ち込みます。
Numbersの機能
なお、Numbersでは図のように同じシートに表を2つ並べることができます。
下の図のようにやってください。
※ExcelやGoogleスプレッドシートではできません。
◇STEP②
[積立額の金額]のところをクリックします。
- 「=」を入力します。
- 「初回預金額の金額の¥10,000」のところをクリックします。
- [Enter]を押します。
で、OKです。
◇STEP③
数式の $b$ に対応する数値を入力します。
[1+利率 の 金額]のところをクリックします。
- 「=」を入力します。
- 「1 + 」と入力します。
- 「利率の0.00001」のところをクリックします。
- [Enter]を押します。
◇STEP④
預けて寝かすタイプの数式の $a(a+r)^n$ を利用します。
[初回預金の金額]のところをクリックします。
- 「=」を入力します。
- 「初回預金額の¥10,000」をクリック
- 「× (1+」と入力
- 「利率の0.00001」をクリック
- 「)^」と入力
- 「預金年数の30」をクリック
- [Enter]を押します。
◇STEP⑤
積立タイプの場合の $\displaystyle \frac{a(b^n-1)}{b-1}$ を利用します。
[積み立ての金額]のところをクリックします。
- 「=」を入力します。
- 「初回預金額の¥10,000」をクリック
- 「× (」と入力
- 「1+利率の1.00001」をクリック
- 「)^(」と入力
- 「預金年数の30」をクリック
- 「+1) - 1)/」と入力 ※「÷」の記号は「/」スラッシュ
- 「利率の0.00001」をクリック
- [Enter]を押します。
で、OKです。
あとは、黄色の数値を自分のシミュレーションしたい値に換えて楽しんでみてください！( ◠‿◠ )
【補足】別のシミュレーション～
次の形のシステムの方が作成自体は簡単です。
複利法の数学の公式を知らなくてもシミュレーションできます。
1つ目の表のレイアウト
- 図のように必要事項を記入する
2つ目の表のレイアウト
- 図のように必要事項を記入する
- 左表のB2のセルに「=」を入力して, 「初回貯金額の値」をクリックする。
システムの作成①
- 左表のD2のセルに「=」を入力して, 「初年度の預金額の値」をクリックする。
システムの作成②
- 左表のB3のセルに「=」を入力して, 「積立額の値」をクリックする。
システムの作成③
- 左表のC3のセルに「=」を入力して, 「(初年度の残高の値)*(利率)」を入力する。
システムの作成④
- 左表のD3のセルに「=」を入力して, 「(初年度の残高)+(経過１の預金額)+(経過１の金利)」を入力する。
オートフィルの準備①
- 左表のB3のセルの参照を絶対参照にする。
オートフィルの準備②
- 左表のC3のセルの、利率の参照のところだけを絶対参照にする。
オートフィル
- 左表のB3とC3、D3のセルを全て選んで、オートフィルで表の下まで自動的に入力する。
折れ線グラフの作成
- 左表のA列とD列を選択する。
- 上の「グラフ」のアイコンから、折れ線グラフを選択する。
完成
- ２つ目の表の「初回貯金額」と「積立金」、「金利」を変えることで、いろいろな状況でシミュレーションできる。
附録
デザイン集
