複利式の元利合計の数列の一般項（預けっぱなし）
複利式での資金の変化を考えてみよう。例えば, 利率が $10\%$ で $10$ (万)円を投資した場合, $n$ 年後には $10 \times (1.1)^n$ 万円になります。
基本の解法
利子率 $r$, 投資額 $a$とする。複利式で $n$ 回の利子を受け取った後の元利合計 $a_n$ は次の通り: $$a_n = a (1+r)^n$$
$n$ 回で受け取った利子の合計は $a(1+r)^n - a$ である。
複利式は、ある年度に受け取った利子にも、その次年度に利子が付くという方式である。
年利で考えると(次年度の利子)=(今年度までの元利合計)×(利率)である。
これより(次年度の元利合計)=(今年度までの元利合計)×(１＋利率)が成り立つ。
例題. 複利の利子率が $10\%$, 初回の投資額を $10$ (万)円 とする。$10$ 回目の利子を受け取った後の元利合計および利子はいくらか。
与えられた条件から $n$ 回目の利子を得た後の元利合計を $a_n$ とすると $a_n = 10 \times (1.1)^n$ (万) である。
$r = 0.1$, $a = 10$(万).
$n=10$ のとき $a_{10} = 10 \times (1.1)^{10}\fallingdotseq 25.9374$ である。
ゆえに, 10回目の利子を受け取った後の元利合計は 259,374円である。
投資金額は 10万円であるので、受け取った利子は $25.9374-10$ $=15.9374$ (万) である。
ゆえに10回で受け取った利子の総額は 159,374円である。
単利式の場合, 10回で受け取る利子の総額は 10万円である。
複利の利子率が $10\%$, 投資額を $10$ (万)円 とします。単位は(万)として年利で考えます。
1年後の利子は $10 \times 0.1$ です。
1年後の元金と利子の合計は: $10 \times (1+0.1)$ $= 10 \times 1.1$.
2年後の利子は $(10 \times 1.1) \times 0.1$ です。
2年後の元金と利子の合計は: $(10 \times 1.1) \times (1 + 0.1)$ $= 10 \times (1.1)^2$.
3年後の利子は $(10 \times (1.1)^2) \times 0.1$ です。
3年後の元金と利子の合計は: $(10 \times (1.1)^2) \times (1+0.1)$ $= 10 \times (1.1)^3$.
この規則で $n$ 年後の元利合計が分かりますね！
