フィボナッチ数列の一般項（ビネーの公式）
フィボナッチ数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$ および $a_1=1, a_2=1$ で定義されるとき, その一般項は次の式で表される。 $$ a_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right\} $$
フィボナッチ数列の漸化式 $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$ から一般項を導く解法
- $\displaystyle \alpha = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ と $\displaystyle \beta = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ によって, 漸化式を次の形に変形する:$$\begin{aligned} a_{n+2} - \alpha a_{n+1} &= \beta (a_{n+1} - \alpha a_n) \\ a_{n+2} - \beta a_{n+1} &= \alpha (a_{n+1} - \beta a_n) \end{aligned}$$
- 数列 $\{ a_{n+1} - \alpha a_{n} \}_n$ は初項 $a_2 - \alpha a_1 = \beta$, 公比 $\beta$ の等比数列と認識でき, $a_{n+1} - \alpha a_n$ $= \beta \cdot \beta^{n-1}$ が得られる.
- 数列 $\{ a_{n+1} - \beta a_{n} \}_n$ は初項 $a_2 - \beta a_1 = \alpha$, 公比 $\alpha$ の等比数列と認識でき, $a_{n+1} - \beta a_n$ $=\alpha \cdot \alpha^{n-1}$ が得られる.
- (2)の式 $a_{n+1} - \alpha a_n$ $=\beta^{n}$ と(3)の式 $a_{n+1} - \beta a_n$ $=\alpha^{n}$ から $a_{n+1}$ を消去することで $a_n$ $\displaystyle =\frac{1}{\alpha - \beta}(\alpha^n-\beta^n)$ を導く.
漸化式 $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$ ($a_1=a_2=1$) を解くために, 特性方程式 $x^2 = x+1$ を考える。 その解を $\alpha = \frac{1+\sqrt{5}}{2}, \beta = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ とする。
与えられた漸化式は, 次の2つの等比数列の形に変形できる。 $$ \begin{aligned} (1)\quad a_{n+1} - \alpha a_n &= \beta(a_{n} - \alpha a_{n-1}) \\ (2)\quad a_{n+1} - \beta a_n &= \alpha(a_{n} - \beta a_{n-1}) \end{aligned} $$
(1)より, 数列 $\{a_{n+1} - \alpha a_n\}$ は初項 $a_2 - \alpha a_1$, 公比 $\beta$ の等比数列である。 初項は $1 - \alpha = \beta$ であるから, $$ a_{n+1} - \alpha a_n = \beta \cdot \beta^{n-1} = \beta^n \quad \cdots ① $$ 同様に, (2)より初項 $a_2 - \beta a_1 = 1 - \beta = \alpha$ であるから, $$ a_{n+1} - \beta a_n = \alpha \cdot \alpha^{n-1} = \alpha^n \quad \cdots ② $$
②式から①式を引いて $a_{n+1}$ を消去すると： $$ \begin{aligned} (\alpha - \beta)a_n &= \alpha^n - \beta^n \\ a_n &= \frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta} \end{aligned} $$ ここで, $\alpha - \beta = \frac{1+\sqrt{5}}{2} - \frac{1-\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$ である。
求めた値を代入すると, フィボナッチ数列の一般項が得られる。 $$ a_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right\} $$
このとき,
$a_1$ $= \frac{1}{\sqrt{5}} (\alpha -\beta )$ $= \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \sqrt{5}$ $=1.$
$a_2$ $= \frac{1}{\sqrt{5}} (\alpha^2 -\beta^2 )$ $= \frac{1}{\sqrt{5}} (\alpha - \beta)(\alpha + \beta)$ $=1.$
$a_3$ $= \frac{1}{\sqrt{5}} (\alpha^3 -\beta^3 )$ $= \frac{1}{\sqrt{5}} (\alpha - \beta)$ $\{(\alpha + \beta)^2 - \alpha \beta \}$ $=2.$
