フィボナッチ数列の一般項(ビネーの公式)
ビネーの公式
フィボナッチ数列 $\{a_n\}$ の一般項 $$a_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right\}$$
フィボナッチ数列の漸化式 $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$, $a_1=a_2=1$ から一般項を導いてみよう。
$\alpha = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ と $\beta = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ とする。
$\alpha + \beta =1$, $\alpha \beta =-1$, $\alpha - \beta = \sqrt{5}$ である。
$a_1 = \frac{1}{\sqrt{5}} (\alpha -\beta ) = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \sqrt{5} =1.$
$a_2 = \frac{1}{\sqrt{5}} (\alpha^2 -\beta^2 ) = \frac{1}{\sqrt{5}} (\alpha - \beta)(\alpha + \beta) =1.$
$\begin{aligned}
a_3 &= \frac{1}{\sqrt{5}} (\alpha^3 -\beta^3 ) \\
&= \frac{1}{\sqrt{5}} (\alpha - \beta) \{(\alpha + \beta)^2 - \alpha \beta \} \\
&=2. \end{aligned}$
基本の解法
フィボナッチ数列の漸化式 $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$ から一般項を導く解法
- $\alpha = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ と $\beta = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ によって, 次の形を作る。$$\begin{aligned} a_{n+2} - \alpha a_{n+1} &= \beta (a_{n+1} - \alpha a_n) \\ a_{n+2} - \beta a_{n+1} &= \alpha (a_{n+1} - \beta a_n) \end{aligned}$$
- 数列 $\{ a_{n+1} - \alpha a_{n} \}_n$ は初項 $a_2 - \alpha a_1 = \beta$, 公比 $\beta$ の等比数列と認識できる。
- 数列 $\{ a_{n+1} - \beta a_{n} \}_n$ は初項 $a_2 - \beta a_1 = \alpha$, 公比 $\alpha$ の等比数列と認識できる。
- 等比数列の一般項の式から次の２つの式を作る。$$\begin{aligned} a_{n+1} - \alpha a_n &= \beta \cdot \beta^{n-1} \\ a_{n+1} - \beta a_n &= \alpha \cdot \alpha^{n-1} \end{aligned}$$
- この２つの式から $a_{n+1}$ を消去して, フィボナッチ数列の一般項を導く。
(1)の解説
$\alpha$ と $\beta$ は方程式 $x^2 = x+1$ の解
である。解と係数の関係から$$\alpha+\beta=1, \ -\alpha \beta = 1$$が成り立つ. よって, 漸化式 $a_{n+2} = 1 \cdot a_{n+1} + 1 \cdot a_n$ は $$a_{n+2} = (\alpha + \beta) a_{n+1} +(-\alpha \beta) a_n$$ と表示できる。この式を変形すると目的の式が得られる。
例題. 漸化式 $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$ から数列 $\{ a_n \}$ の一般項を導きなさい。
$a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$ から $x^2 = x+1$ を考える。これを解くと $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}, \ \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ となる。これらの値を $\alpha$, $\beta$ とする。
例題の漸化式は $$\begin{aligned} a_{n+2} - \alpha a_{n+1} &= \beta (a_{n+1} - \alpha a_n) \\ a_{n+2} - \beta a_{n+1} &= \alpha (a_{n+1} - \beta a_n) \end{aligned}$$ と変形できる。
例えば, $a_{n+2} - \alpha a_{n+1} = \beta (a_{n+1} - \alpha a_n)$ を計算すると $a_{n+2} = (\alpha + \beta) a_{n+1} - \alpha \beta a_n$ となる。
実際に $\alpha + \beta = 1$, $- \alpha \beta = 1$ である。
$b_n = a_{n+1} - \alpha a_{n}$ と置くと, $b_{n+1} = \beta b_n$ が成り立つ。ゆえに, 数列 $\{ b_n \}$ は初項 $b_1 = a_2 - \alpha a_1 $, 公比 $\beta$ の等比数列である。したがって, 次が成り立つ。
$$b_{n} = (a_2 - \alpha a_1) \cdot \beta^{n-1}.$$
$b_1 = a_2 - \alpha a_1$ $= 1 - \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \cdot 1$ $=\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ $=\beta$.
$c_n = a_{n+1} - \beta a_{n}$ と置くと, $c_{n+1} = \alpha c_n$ が成り立つ。ゆえに, 数列 $\{ c_n \}$ は初項 $c_1 = a_2 - \beta a_1 $, 公比 $\alpha$ の等比数列である。したがって, 次が成り立つ。
$$c_{n} = (a_2 - \beta a_1) \cdot \alpha^{n-1}.$$
$c_1 = a_2 - \beta a_1$ $= 1 - \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \cdot 1$ $=\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ $=\alpha$.
以上から, $b_n = a_{n+1} - \alpha a_n$, $c_n = a_{n+1} - \beta a_n$ であったから, 次の２式を得ることができる。
$$\begin{aligned} a_{n+1} - \alpha a_n &= \beta \cdot \beta^{n-1} \\ a_{n+1} - \beta a_n &= \alpha \cdot \alpha^{n-1} \end{aligned}$$
$a_{n+1}$ を消去するために下の式の両辺から上の式の両辺をそれぞれ引くと, $$-(\beta- \alpha)a_n = \alpha^n - \beta^n$$ となる。
$\displaystyle -(\beta - \alpha) = -\frac{1 - \sqrt{5}}{2} + \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}.$
ゆえに, $$a_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right\}$$ を得ることができる。
