- まとめ
- 目次
- ①常識
- ②参考
「メルカトル図法」とは
経線と緯線に対する角度が正確な地図のこと。
準備
$x \in ( -\pi/2, \ \pi/2)$ について, 次を逆グーデルマン関数と呼ぶ:
$\mathrm{gd}^{-1}(x)=\mathrm{arsinh}\circ \tan(x)$
A. メルカトル射影（定義）
地球上の経度 $u$, 緯度 $v$ の地点 $\mathsf{S}(u,v)$ を, 平面上の次の点に写す.
$$\mathsf{Mer}: \mathsf{S}(u,v) \mapsto (u, \mathrm{gd}^{-1}(v))$$
微分
地表の点 $\mathsf{S}(u_0,v_0)$ の接平面 $T_{(u_0, v_0)} \mathsf{S}$ における基底 $\mathbf{e}_u$ と $\mathbf{e}_v$ に関するメルカトル射影 $ \mathsf{Mer}$ のヤコビ行列は次の通り:
$J_{\mathsf{Mer}}(u_0, v_0) =
\left[\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & \sec v_0
\end{array} \right]$
B. メルカトル図法の等角性
メルカトル射影 $\mathsf{Mer}$ は等角写像である. つまり, 任意の接ベクトル $a_1 \mathbf{e}_u + a_2 \mathbf{e}_v$ と $b_1 \mathbf{e}_u + b_2 \mathbf{e}_v$ の角度と, $J_{\mathsf{Mer}}(u_0,v_0) \left[\begin{array}{c}
a_1 \\
a_2
\end{array} \right]$ と $J_{\mathsf{Mer}}(u_0,v_0) \left[\begin{array}{c}
b_1 \\
b_2
\end{array} \right]$ の角度は常に等しい.
ポイント解説
$\mathrm{arsinh}(x) = \log(x + \sqrt{x^2+1})$
地球の半径を $R$ とします。経度が $u$(rad), 緯度が $v$(rad)の地点の座標は,
$\mathsf{S}: (u,v) \mapsto \left( \begin{array}{c}
R\cos u \cos v \\
R\sin u \cos v \\
R\sin v
\end{array} \right)$
$-\pi < u < \pi$, $-\pi/2 < v < \pi/2$ で, 東と北が正の方向です。
A
メルカトル射影の縮尺イメージ:
B
接平面の基底は次の通りです:
$\left\{ \begin{array}{l}
\mathbf{e}_u = (-\sin u_0 \cos v_0,\cos u_0 \cos v_0, 0) \\
\mathbf{e}_v = (-\cos u_0 \sin v_0, -\sin u_0 \sin v_0, \cos v_0)
\end{array} \right. $
これらの角度とヤコビ行列での像の角度は計算によって一致することが示せます。
メルカトル図法の常識
メルカトル図法の採用
メリット
- 経線はそれぞれ等間隔かつ平行に描かれる
- 緯線もそれぞれ平行に表現される
- 地図上の2点を結んだ線が等角航路となる（進行方向が分かりやすい）
※等角航路とは，経線に対して一定の角度を保って進行する経路です。
デメリット
- 地図上の直線だと最短距離より遠回りになる
- 地球上で高緯度の距離や面積について，地図上では拡大されて描かれる
メルカトル図法の歴史
歴史の始まり
海図・航路用地図として使われてきた。
1511年
天文学者エアハルト・エッツラウプ（🇩🇪）が作成した地図には，すでに仕組みはあった。
1569年
地理学者ゲラルドゥス・メルカトル（🇧🇪）がドイツで発表した地図にこの投影法があった。
1821年
伊能忠敬（🇯🇵）が，大日本沿海輿地全図を完成させた。
廿日市の佐方八幡神社の堀田仁助さんの灯篭を道標に
広島県の廿日市市（はつかいち市）は、厳島神社がある市です。 廿日市市は伊能忠敬に先駆けて測量をしていた天文学者の堀田仁助さんが生まれた場所です。 宮島から少し離…
ますレッスン教室 
現在①
ユニバーサル横メルカトル図法が国際的に利用されている。
日本では国土地理院が発行する地図に利用されている。
現在②
Google Mapsにメルカトル図法が利用されている。
今を生きる
なぜ，Google Mapsは，メルカトル図法を採用したのかな？
参考文献
- メルカトル図法について
- グーデルマン関数について
- たくさんの人々について
