数列の漸化式について

例題. 漸化式 $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$ から数列 $\{ a_n \}$ の一般項を導きなさい。

$a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$ から $x^2 = x+1$ を考える。これを解くと $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}, \ \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ となる。これらの値を $\alpha$, $\beta$ とする。

例題の漸化式は $$\begin{aligned} a_{n+2} - \alpha a_{n+1} &= \beta (a_{n+1} - \alpha a_n) \\ a_{n+2} - \beta a_{n+1} &= \alpha (a_{n+1} - \beta a_n) \end{aligned}$$ と変形できる。

$b_n = a_{n+1} - \alpha a_{n}$ と置くと, $b_{n+1} = \beta b_n$ が成り立つ。ゆえに, 数列 $\{ b_n \}$ は初項 $b_1 = a_2 - \alpha a_1 $, 公比 $\beta$ の等比数列である。したがって, 次が成り立つ。

$$b_{n} = (a_2 - \alpha a_1) \cdot \beta^{n-1}.$$

$c_n = a_{n+1} - \beta a_{n}$ と置くと, $c_{n+1} = \alpha c_n$ が成り立つ。ゆえに, 数列 $\{ c_n \}$ は初項 $c_1 = a_2 - \beta a_1 $, 公比 $\alpha$ の等比数列である。したがって, 次が成り立つ。

$$c_{n} = (a_2 - \beta a_1) \cdot \alpha^{n-1}.$$

以上から, $b_n = a_{n+1} - \alpha a_n$, $c_n = a_{n+1} - \beta a_n$ であったから, 次の２式を得ることができる。

$$\begin{aligned} a_{n+1} - \alpha a_n &= \beta \cdot \beta^{n-1} \\ a_{n+1} - \beta a_n &= \alpha \cdot \alpha^{n-1} \end{aligned}$$

$a_{n+1}$ を消去するために下の式の両辺から上の式の両辺をそれぞれ引くと, $$-(\beta- \alpha)a_n = \alpha^n - \beta^n$$ となる。

ゆえに, $$a_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right\}$$ を得ることができる。

例題. 複利の利子率が $10\%$, 毎回の積立額が $10$ (万)円, 初回の投資額を $50$ (万)円 とする。$n$ 回目の利子を受け取った後の資産はいくらか。

与えられた条件から $n$ 年目の資産 $a_n$ が満たす漸化式は $a_{n+1} = 1.1 a_n + 10$, $a_0 = 50$ とできる。

この漸化式は $a_{n+1} +100 = 1.1(a_n + 100)$ と変形できる。

$\{ a_n + 100 \}_n$ という数列は公比 $1.1$ の等比数列である。また, 初項は $a_0+100 = 50+100 = 150$ である。ゆえに, $a_n + 100 = 150 (1.1)^n$ とできる。

以上から $$a_n = 150 (1.1)^n-100$$ を得る。

解法. 漸化式 $\displaystyle a_{n+1} = \frac{1}{2} \left( a_n + \frac{2}{a_n} \right)$, $a_1 = 1$ の一般項を求めよ。

漸化式 $a_{n+1} = \frac{1}{2} (a_n + \frac{2}{a_n})$ の両辺から $\pm \sqrt{2}$ を引くことで

$$\begin{aligned}
a_{n+1} \pm \sqrt{2} &= \frac{a_n^2 +2}{2a_n} \pm \sqrt{2} \\
&= \frac{a_n^2 \pm 2\sqrt{2} a_n + 2}{2a_n} \\
&= \frac{(a_n \pm{\sqrt{2}})^2}{2a_n}
\end{aligned}$$

という変形を行う.この２式の両辺をそれぞれ割ることで,

$$\frac{a_{n+1} - \sqrt{2}}{a_{n+1} + \sqrt{2}}= \left(\frac{a_n - {\sqrt{2}}}{a_n +{\sqrt{2}}}\right)^2$$

の形を得る.

$\displaystyle b_n = \frac{a_n - {\sqrt{2}}}{a_n +{\sqrt{2}}}$ と置くことで, 漸化式 $b_{n+1} = b_n^2$ の形に帰着できる.

$b_{n} = b_{n-1}^2 = b_{n-2}^4 = \cdots = b_1^{2^{n-1}}$ である.

また, $\{ b_n \}$ の初項は$$\displaystyle b_1 = \frac{a_1 - {\sqrt{2}}}{a_1 +{\sqrt{2}}}=2\sqrt{2}-3$$ である. 以上から, $$\displaystyle \frac{a_n - {\sqrt{2}}}{a_n +{\sqrt{2}}} = (2\sqrt{2} - 3)^{2^{n-1}}$$ となる. ゆえに, $$\displaystyle a_n = \frac{1+(2\sqrt{2} - 3)^{2^{n-1}}}{1-(2\sqrt{2} - 3)^{2^{n-1}}}\sqrt{2}$$ である.

例題. 漸化式 $a_{n+1} = 2a_n -1$ から数列 $\{ a_n \}$ の一般項を導きなさい。

$a_{n+1} = 2a_n -1$ から $x = 2x-1$ を考える。これを解くと $x=1$ となる。

例の漸化式は $$a_{n+1} - 1 = 2(a_n - 1)$$ と変形できる。

$b_n = a_n -1$ という数列を定義すると, $b_{n+1} = a_{n+1}-1$ である。これを当てはめると $b_{n+1} = 2 b_n$ となる。この漸化式は $\{ b_n \}$ が等比数列であることを表しており, 一般項を導出できる。$$b_n = b_1 \cdot 2^{n-1}$$

$b_n = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$ より, $a_n - 1 = 2^n$ だから $$a_n = 2^n+1$$ である。

解法. 漸化式 $a_{n+1} = 2a_n +2^n$, $a_1 = 1$ の一般項を求めよ。

漸化式 $a_{n+1} = 2a_n +2^n$ の両辺を $2^n$ で割ると$$\frac{a_{n+1}}{2^n} = \frac{a_n}{2^{n-1}} +1$$ となる。$\displaystyle b_n=\frac{a_n}{2^{n-1}}$ と置くと, 漸化式 $b_{n+1} = b_n +1$ を得る。

数列$\{ b_n \}$ は, 初項 $1$, 公差 $1$ の等差数列であるから, $b_n = n$ である。

したがって, $a_n = n \cdot 2^{n-1}$ と分かる。

解法. 漸化式 $a_{n+1} = 3a_n +4n$, $a_1 = 1$ の一般項を求めよ。

漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 4n$ について, $a_{n＋2} = 3a_{n+1} + 4(n+1)$ を考える。

$$\begin{array}{cccccc} & a_{n+2} &=& 3a_{n+1} &+& 4(n+1) \\ - & a_{n+1} &=& 3a_n &+& 4n \\ \hline & a_{n+2} - a_{n+1} &=& 3(a_{n+1} - a_n) & +& 4 \end{array}$$

となる。$b_n = a_{n+1} - a_n$ と置けば, $b_{n+1} = 3b_n +4$ を得る。

数列$\{ b_n + 2 \}_n$ は, 初項 $b_1 + 2 = 8$, 公比 $3$ の等比数列である。

ゆえに, $b_n +2 = 8 \cdot 3^{n-1}$ であり $b_n = 8 \cdot 3^{n-1} -2$ と分かる。$b_n = a_{n+1} - a_n$ と定めたから $n \geqq 2$ のとき $$\begin{aligned} a_n & =1 + \sum_{k=1}^{n-1} (8 \cdot 3^{k-1} - 2) \\ &=1 + \frac{8(3^{n-1}-1)}{3-1} - 2(n-1) \\ &= 1 + 4(3^{n-1} - 1) - 2(n-1) \\ &= 4 \cdot 3^{n-1} -(2n +1). \end{aligned}$$

したがって, $a_n = 4 \cdot 3^{n-1} - (2n +1)$ と分かる。

解法. 漸化式 $a_{n+1} = 3a_n +4n$, $a_1 = 1$ の一般項を求めよ。

漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 4n$ について, もし $$\displaystyle \frac{a_{n+1} + s(n+1) + t}{a_n + sn + t}=3$$ となる実数 $s, t$ が存在すれば, $b_n = a_n + sn+t$ と置いた数列 $\{ b_n\}$ は漸化式 $\displaystyle \frac{b_{n+1}}{b_n} =3$ を満たすことが言える。

$$\begin{aligned}
\frac{b_{n+1}}{b_n} &= \frac{a_{n+1} +s(n+1)+t}{a_n+(sn+t)} \\
& = \frac{3a_n + 4n +s(n+1)+t}{a_n+sn+t} \\
& = \frac{3a_n + (4+s)n + (s+t)}{a_n+sn+t} \\
& = \frac{3\{a_n + \frac{4+s}{3}n + \frac{s+t}{3} \}}{a_n+sn+t}
\end{aligned}$$

以上から, $\displaystyle \frac{4+s}{3} = s$ かつ $\displaystyle \frac{s+t}{3}=t$ を満たす $s = 2$, $t=1$ を取ればよいことが分かる。

$b_n = a_n + 2n+1$ は初項 $b_1 = a_1 + 2+1 = 4$, 公比 $3$ の等比数列であるので, $b_n = 4 \cdot 3^{n-1}$ と一般項を導ける。

ゆえに, $a_n = 4 \cdot 3^{n-1} - (2n+1)$ である。