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数学のまとめノート
「階差数列」とは
隣り合う二項の差の数列のこと。
定義
数列 $\{ a_n \}$ の階差数列 $\{ b_n \}$ は
$b_n = a_{n+1} - a_n$
である.
A. 階差数列の利用
$n \geqq 2$ の $a_n$ の値は, 階差数列を使って導くことができる.
$\displaystyle a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$
B. 数列の和 $\{S_n\}$ の階差数列
数列 $\{ a_n \}$ の和を $S_n$ とする。$\{ S_n \}$ の階差数列は $\{ a_n \}$ である.
$S_{n} - S_{n-1} = a_n$ $(n \geqq 2)$
定義
数列 $\{ a_n \}$ の階比数列 $\{ b_n \}$ は
$b_n = a_{n+1} / a_n$
である.
C. 階比数列の利用
$n \geqq 2$ の $a_n$ の値は, 階比数列を使って導くことができる.
$\displaystyle a_n = a_1 \times \prod_{k=1}^{n-1} b_k$
ポイント解説
A
$n \geqq 2$ のとき, $$\begin{aligned}
a_{n} &= a_{n-1} +b_{n-1} \\
&= (a_{n-2} + b_{n-2}) + b_{n-1} \\
&= \displaystyle a_{n-2} + \sum_{k=n-2}^{n-1} b_k \\
&= \cdots \\
&= \displaystyle a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k \\
\end{aligned}$$
B
$n \geqq 2$ のとき, $$\begin{aligned}
S_{n} - S_{n-1} &= \sum_{k=1}^n a_k - \sum_{k=1}^{n-1} a_k \\
&= a_n
\end{aligned}$$
C
$n \geqq 2$ のとき, $$\begin{aligned}
a_{n} &= a_{n-1} \cdot b_{n-1} \\
&= a_{n-2} \cdot b_{n-2} \cdot b_{n-1} \\
&= \displaystyle a_{n-2} \times \prod_{k=n-2}^{n-1} b_k \\
&= \cdots \\
&= \displaystyle a_1 \times \prod_{k=1}^{n-1} b_k \end{aligned}$$
階差数列の具体例
具体例
ゲーム
RPGでの経験値計算
(参照リンク)
開成高校の入試問題
$n$ を正の整数とし, 座標平面上で4点 $(n,0)$, $(0,n)$, $(−n,0)$, $(0,−n)$ を頂点とする正方形の内部または周上にある格子点の個数を求めよ。ただし, 格子点とは $x$ 座標と $y$ 座標がともに整数である点のことである。(開成 06 改)
$n \geqq 2$ の条件
次は階差数列から一般項を導くと,
$n=1$ では不成立;
$1$, $1$, $3$, $6$, $10$, $15$, $21$, $\cdots$
