- 目次
- 理解
- コード
- まとめ
【理解】t分布とは
t分布の前提について
ウィリアム・ゴセット(student)の研究
t検定について
標本数が小さい。母分散が分からない。
母集団の正規性の仮定は必要（ヒストグラムを書いてみる）
お菓子の糖質の表記が0.1gであった。無作為に20個のお菓子で調査した結果，実際の糖質の平均は0.2gであった。統計的な差はあるのだろうか？
$$t = \frac{0.2 - 0.1}{SE} = $$
このときの p値（両側検定）は，？？%である。
なお，Excel では，2*(1-NORM.S.DIST(I3,TRUE)) と計算した。
A群のサンプル数が $n_a$ で平均値が $\mu_A$, B群のサンプル数が $n_B$ で平均値が $\mu_B$ とする。
ｔ分布に従う確率変数の差について，標準誤差を次のように定めれば，自由度 $n_A + n_B - 2$ のｔ分布になる。
標準誤差 SE
$$SE = \sqrt{\frac{(n_A - 1)s_A^2 + (n_B-1) s_B^2}{n_A + n_B -2}} \times \sqrt{\frac{1}{n_A} + \frac{1}{n_b}}$$
サンプル数が $n$ のデータで，差に関するデータを $d_i$ とする。
差の標本平均値が $d$ であれば，標準誤差 $SE = s / \sqrt{n}$ を利用して，次の値でt検定できる。
$$t = \frac{d_i - 0}{SE}$$
【コード】Pythonでt分布の計算
t分布の表示
ｔ分布のPythonコードを紹介します。
そして、ｔ分布と正規分布を同時に描画して、差異を観察するコードを紹介します。
ｔ分布のコード【Python】
ｔ分布のPythonコード
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm #normは正規分布
from scipy.stats import t #t分布
n = 10 # サンプルの個数
deg = n-1 # 自由度
#ｔ分布を表示（自由度n-1）
X = np.arange(-3, 3, 0.1)
Y = t.pdf(X, deg)
plt.plot(X, Y, color="red", label = "t of n-1")
#グラフの表示
plt.legend() #凡例表示
plt.show()ｔ分布の表示結果
ｔ分布と正規分布の比較【Python】
分布を比較するコード
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm #normは正規分布
from scipy.stats import t #t分布
n = 2 # サンプルの個数
mu = 50 # 母平均
sigma = 10 # 母標準偏差
deg = n-1 # 自由度
#正規分布を表示
X = np.arange(-3, 3, 0.1)
Y = norm.pdf(X, 0, 1)
plt.plot(X, Y, color="orange", label = "N(0,1)")
#ｔ分布を表示（自由度n-1）
W = np.arange(-3, 3, 0.1)
Z = t.pdf(W, deg)
plt.plot(W, Z, color="red", label = "t of n-1")
#ｔ分布を表示（自由度n）
WW = np.arange(-3, 3, 0.1)
ZZ = t.pdf(WW, deg+1)
plt.plot(WW, ZZ, color="black", label = "t of n")
#グラフの表示
plt.legend() #凡例表示
plt.show()分布の表示結果
自由度 $2$, $1$ のｔ分布と、標準正規分布を同時に出力しました。
自由度を変えて、いくつも観察してみましょう。
t分布と正規分布の比較
ｔ分布の観察
確率変数 $T$ の観察
$n$ 個の正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ から，確率変数 $T$ の値を10000回算出して試行した結果のグラフと，正規分布 $N(0,1)$，ｔ分布 $t(n)$, $t(n-1)$ の確率分布の違いを観察してみました。
$$\displaystyle T = \frac{\bar{X} - \mu}{s / \sqrt{n}}$$
#t分布の観察
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm #normは正規分布
from scipy.stats import t #t分布
n = 5 # 群の個数
mu = 50 # 母平均
sigma = 10 # 母標準偏差
deg = n-1 # 自由度
trial = 10000 # 試行回数
data = []
for i in range(trial):
# 平均 mu, 標準偏差 sigma の正規乱数を n個取得
sample = np.random.normal(mu, sigma, n)
# 標本平均を計算する
x_bar = np.average(sample)
#標本分散を計算する
s2 = sum((x - x_bar)**2 for x in sample)/(n-1)
#確率変数Tを計算する
T = (x_bar - mu)/np.sqrt(s2)*np.sqrt(n)
data.append(T)
# ヒストグラムを出力
plt.hist(data, bins=200, density=True, label = "T from sample") #densityは確率密度にする命令
#正規分布を表示
X = np.arange(-3, 3, 0.1)
Y = norm.pdf(X, 0, 1)
plt.plot(X, Y, color="orange", label = "N(0,1)")
#ｔ分布を表示（自由度n-1）
W = np.arange(-3, 3, 0.1)
Z = t.pdf(W, deg)
plt.plot(W, Z, color="red", label = "t of n-1")
#ｔ分布を表示（自由度n）
WW = np.arange(-3, 3, 0.1)
ZZ = t.pdf(WW, deg+1)
plt.plot(WW, ZZ, color="black", label = "t of n")
#グラフの表示
plt.legend() #凡例表示
plt.show()試行結果
$n = 100$ という大きい値のときは，３つの確率分布は重なって違いが無いように見えます（左）。
$n=5$ のときは，正規分布(黄色)だとヒストグラムを上手に近似できていないように思われます。
自由度 $n$ と $n-1$ の t分布の方がヒストグラムを上手に近似しているように見えます。
ただし， $n$ と $n-1$ のどちらの自由度の方が近似に適合しているのかは，この図からは読み取れません。
標本分散を利用した確率変数 $T$ の分布は, ｔ分布っぽいことが読み取れました。
【まとめ】ポイントノート
「ｔ分布」とは
サンプル数が少ないとき正規分布の代わりに利用する確率分布のこと。
準備
正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ からの独立な標本 $X_1$, $\ldots$, $X_n$ の標本平均を $\bar{X}$, 不偏分散を $s^2$ とする.
A. 標本平均を利用した確率変数
確率変数 $T$ は自由度 $n-1$ のｔ分布に従う.
$\displaystyle T = \frac{\bar{X} - \mu}{s/\sqrt{n}}$
B. 確率密度関数
$\displaystyle f(t) = \frac{\Gamma(\frac{n}{2})}{\sqrt{(n-1)\pi} \ \Gamma(\frac{n-1}{2}) } \left( 1 + \frac{t^2}{n-1} \right)^{-\frac{n}{2}}$
C. ｔ検定の種類
- 一標本ｔ検定
- 対応のある独立ニ標本ｔ検定
- 独立ニ標本ｔ検定（スチューデントのt検定）
- ウェルチのｔ検定
ポイント解説
標本平均
$\displaystyle \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$
不偏分散
$\displaystyle s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$
イメージ
標本数が大きいとき, ｔ分布と正規分布は近似できます。
C
母平均を調査するときで, 母分散が不明なときにｔ分布が使えます。
(2) 標本が対で, それぞれの母集団が正規分布に従う場合
(3) 標本が独立で、比較する群の分散が等しいと仮定できる場合
(4) 標本が独立で、等分散性が仮定できない場合
