確率分布（離散型）について

離散的な確率分布 $S$ と確率変数 $X$ の定義を学んでみよう！

離散的な場合で, 統計量である期待値 $E[X]$ の定義を学んでみよう！

離散的な場合で, 統計量である分散 $V[X]$ の定義を学んでみよう！

統計量である標準偏差 $\sigma[X]$ の定義を学んでみよう！

データの分析（数学１）で学習する「平均値」「分散（標準偏差）」と、統計的な推測（数学B）で学習する「期待値」「分散（標準偏差）」が同じものであることを確かめます。

統計の期待値とデータの分析の平均値の違い

平均値と期待値、分散の公式

データの分析の公式

数学１では平均値 $m$ と分散 $s^2$ を学びます。

$$m = \frac{1}{n} (x_1 + \cdots + x_n)$$

$$s^2 =\frac{1}{n} \{ (x_1 - m)^2 + \cdots + (x_n-m)^2 \}$$

ここで、$[x_1, \ldots, x_n]$ はデータで、$n$ はデータの大きさです。

統計の公式

さて、数学Bでは期待値 $\mu$ と分散 $\sigma^2$ を学びます。

$$\mu = x_1p_1 + \cdots + x_np_n$$

$$\sigma^2=(x_1 - \mu)^2p_1 + \cdots + (x_n-\mu)^2p_n$$

ここで、$x_1, \ldots, x_n$ は確率変数が取りうる値で、$p_1, \ldots, p_n$ は、おのおのの確率です。

公式の違いの注意点

これらの公式が同じものであることを確認することが今回の目標です。

$n$ と $x_k(1\leqq k \leqq n)$ が公式間で意味が変わっているので、この違いが分かればバッチリです！

２つの単元の公式を結びつけるために、ヒストグラムが活躍します。

データの分析の単元での計算

データを度数分布（ヒストグラム）として整理したものを頻度として考えると確率分布ができます。

データの例

次のデータを使って確率分布の考えを整理します。

$D = [150, 150, 160, 160, 160, 160, 160, 165, 165, 170]$

データの分析の計算

データ $D$ の度数分布表とヒストグラムを作成しました。

データ $D$ の平均値と分散

この度数分布表からデータの分析の「平均値 $m$ 」と「分散 $s^2$ 」を計算しましょう。

$\begin{aligned}
m & \displaystyle = \frac{1}{10}(150 \times 2 + 160 \times 5 + 165 \times 2 + 170 \times 1) \\
&= 160
\end{aligned}$

$\begin{aligned}
s^2 & \displaystyle = \frac{1}{10}((-10)^2 \times 2 + 0 \times 5 + 5^2 \times 2 + 10^2 \times 1) \\
&= 35
\end{aligned}$

この値と、統計的な推測で計算する期待値と分散を比較してみます。

統計の計算

さきほどの度数分布表を頻度表に変形しましょう。頻度は、そのまま確率と思ってOKです。

頻度のヒストグラムは確率分布表になります。

この頻度表および、棒グラフが意味するものが「確率分布」です。

データ $D$ の期待値と分散

確率分布から「期待値 $\mu$ 」と「分散 $\sigma^2$ 」を計算しましょう。

$\begin{aligned}
\mu &= \displaystyle 150 \times \frac{2}{10} + 160 \times \frac{5}{10} + 165 \times \frac{2}{10} + 170 \times \frac{1}{10} \\
&= 160
\end{aligned}$

$\begin{aligned}
\sigma^2 & \displaystyle = (-10)^2 \times \frac{2}{10} + 0 \times \frac{5}{10} + 5^2 \times \frac{2}{10} + 10^2 \times \frac{1}{10} \\
&= 35
\end{aligned}$

２つの単元の違いの整理

度数分布表から平均と分散を計算した結果と、確率分布から期待値と分散を計算した結果はピッタリ一致しました。

データの分析のときの $n$ 個のうち、重複するものをセットにした後の個数が統計の公式の $n$ になっています。

そして、２つの単元での計算の違いはデータの大きさの $10$ を割る順序が違うということだけです。

同じ値が複数存在するデータを度数分布表に整理して頻度を考えたものが確率分布です。

分散 $V[X]$ が期待値を使って $E[X^2]-E[X]^2$ で表されることを証明してみよう。

確率変数 $aX+b$ の期待値が $aE[X] + b$ で表されることを理解してみよう。

確率変数 $aX+b$ の分散が $a^2V[X]$ で表されることを理解してみよう。

確率変数 $aX+b$ の標準偏差が $|a|\sigma[X]$ で表されることを理解してみよう。

確率分布	記号	決定量	特徴量	検定推定量	簡単な導出
正規分布	$N(\mu, \sigma^2)$	平均値，分散	$E(X) = \mu$ $V(X) = \sigma^2$	標本平均$\bar{X}$（の母分散による標準化）	$$\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$$
ｔ分布	$t(k)$	自由度 $k$（サンプル数-1）	$E(X) = 0$ $V(X) = \frac{k}{k-2}$	標本平均の不偏分散による標準化 $T$	$$\frac{\bar{X} - \mu}{s/\sqrt{n}}$$
カイ２乗分布	$\chi^2(k)$	自由度 $k$	$E(X) = k$ $V(X) = 2k$	不偏分散 $s^2$の線型倍	$\sum_{i=1}^kZ_i^2$ $Z_i \sim N(0,1)$ $Z_i = \frac{X_i-\bar{X}}{\sigma}$
F分布	$F(p,q)$	自由度 $p$, $q$	$E(X) = \frac{q}{q-2}$ $V(X)$ は複雑	不偏標準偏差の比 分散分析にも利用される	$\frac{Z_1/p}{Z_2/q}$ $Z_1 \sim \chi(p)$ $Z_2 \sim \chi(q)$