- 目次
- 理解
- 実例
- 大学
- コード
- まとめ
【理解】数列の和の数学的解説
数列の和の記号（シグマ公式）について
「数列の和」とは
ある規則で並んだ数を足し合わせること。
<記号>数列の和
$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k := a_1 + a_2 + \cdots + a_n$
証明はこちら
<公式>数列の和の線形性
$\displaystyle \sum_{k=1}^n (pa_k + qb_k) = p\sum_{k=1}^na_k + q \sum_{k=1}^n b_k$
証明はこちら
<記号>定数列の和
$\displaystyle \sum_{k=1}^n c =cn$
証明はこちら
<公式> 数列の和①
$\displaystyle \sum_{k=1}^n k =\frac{1}{2}n(n+1)$
数学的帰納法による証明はこちら
$(x+1)^2 - x^2$ による証明はこちら
<公式>数列の和②
$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2 =\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
数学的帰納法による証明はこちら
<公式>数列の和③
$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^3 =\left\{ \frac{1}{2}n(n+1)\right\}^2$
数学的帰納法による証明はこちら
<公式>数列の和④
$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^4 =\frac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2 + 3n -1)$
$(x+1)^5 - x^5$ による証明はこちら
<公式>等比数列の和
$\displaystyle \sum_{k=1}^n ar^{k-1} =\frac{a(r^n-1)}{r-1}$
$rS - S$ による証明はこちら
自然数の和について
<等式>1から100までの和
$1 + 2 +\cdots + 99+ 100$
解答はこちら
$=5050$
<等式>奇数の和
$\displaystyle \sum_{k=1}^n (2k-1) =n^2$
解説はこちら
$1$ から $n$ 番目の奇数 $2n-1$ までの和は $n^2$ である. $$1 + 3 + 5+ \cdots + (2n-1) = n^2$$
奇数を次の図のように並べることで, $n$ 個の奇数の和は辺の長さが $n$ の正方形と見なせる。
したがって, 数の和は $n^2$ となります。
<等式>偶数の和
$\displaystyle \sum_{k=1}^n (2k) =n(n+1)$
解説はこちら
$1$ から $n$ 番目の偶数 $2n$ までの和は $n(n+1)$ である。 $$2 + 4 + 6+ \cdots + 2n = n(n+1)$$
偶数を下図のように長方形として並べる。左上の2つの黒丸が2を表し, 4つのオレンジの丸が4を表す。以下, 6, 8, 10まで表している。
この長方形は, $n$ 個の偶数を並べると, 縦の長さが $n$, 横の長さが $n+1$ となる。
ゆえに, $2$ から $n$ 番目の偶数までの総和は $n(n+1)$ となることが分かる。
(等差数列 $\{a_n\}$ )×(等比数列 $\{r^{n-1}\}$ )
$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k \cdot r^{k-1}= \frac{a_1-a_nr^n}{1-r} + \frac{dr(1-r^{n-1})}{(1-r)^2}$
解説はこちら
等差数列 $\{a_n\}$ と等比数列 $\{ r^{n-1}\}$ の積の和について, 簡単に説明しておく。
和 $S$ と, 等比数列の公比 $r$ をかけた $rS$ を上下に並べ, $r$ について同じ次数の項同士を引く。このとき, $\{a_n\}$ が等差数列であることから, $a_2 - a_1$, $\cdots$, $a_n - a_{n-1}$ は全て等差数列の公差 $d$ となる.
$$\begin{array}{rllllll}
S & = & a_1 & + a_2 r & + \cdots &+ a_n r^{n-1} & \\
-) \quad rS & = & & + a_1 r & + \cdots &+ a_{n-1} r^{n-1} & + a_n r^n \\ \hline
(1-r)S & = & a_1 & + dr & + \cdots &+ dr^{n-1} & - a_n r^n
\end{array}$$
したがって, $(1-r)S$ $= a_1$ $+ d (r + \cdots + r^{n-1})$ $-a_nr^n$ を得る。等比数列の和の公式を利用して,
$(1-r)S$ $= a_1$ $\displaystyle + dr \cdot \frac{1-r^{n-1}}{1-r}$ $-a_nr^n$
となる。これを変形すると,
$$
S= \frac{a_1-a_nr^n}{1-r} + \frac{dr(1-r^{n-1})}{(1-r)^2}
$$
が得られる。
望遠鏡和について
部分分数分解の利用
<望遠鏡和>数列の和⑤
$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} =\frac{n}{n+1}$
<部分分数分解>
$\displaystyle \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$
解説はこちら
<望遠鏡和>数列の和⑥
$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)(k+2)} =\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$
<部分分数分解>
$\displaystyle \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2} \left\{ \frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)} \right\}$
解説はこちら
分母の実数化の利用
<望遠鏡和>数列の和⑦
$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}$ $=\displaystyle \sqrt{n+1}-1$
<分母の有理化>
$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} = \sqrt{k+1}-\sqrt{k}$
解説はこちら
$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}}$ の分母と分子に, $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ をかければよい。
フィボナッチ数列の和について
フィボナッチ数列 $\{ F_n \}_n$ について, $F_1 = F_2 = 1$, $F_n=F_{n-1} + F_{n-2} (n\geqq 3)$ とする。
<フィボナッチ数列>和
$\displaystyle \sum_{k=1}^n F_k = F_{n+2}-1$
証明はこちら
<フィボナッチ数列>平方和
$\displaystyle \sum_{k=1}^n F_k^2 = F_nF_{n+1}$
証明はこちら
<フィボナッチ数列>奇数項の和
$\displaystyle \sum_{k=1}^n F_{2k-1} = F_{2n}$
証明はこちら
<フィボナッチ数列>偶数項の和
$\displaystyle \sum_{k=1}^n F_{2k} = F_{2n+1}-1$
証明はこちら
【実例】数列の和が世の中で使われている例
<経済学>複利積立
$\displaystyle \sum_{k=0}^na(1+r)^k$
解説はこちら
<経済学>顧客生産価値
$\displaystyle LTV = \sum_{n=0}^\infty M\left( \frac{A}{100} \right)^n$
解説はこちら
<経済学>割引現在価値
$\displaystyle DPV=\sum_{n=1}^N\frac{F_n}{(1+r)^n}$
解説はこちら
$n$ 年後に受け取る金額を $F_n$ とすると, そのDPVは $\frac{F_n}{(1+r)^n}$ となる。
将来, 定期的に $N$ 回, 受け取る金銭があれば、それらの合計の割引現在価値は $$\displaystyle DPV=\sum_{n=1}^N\frac{F_n}{(1+r)^n}$$ と計算できる。
【大学】無限級数の具体例
リーマン・ゼータ関数について
<定義>リーマン・ゼータ関数
$\displaystyle \zeta(s) = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots$
※ $s$ は実部が $1$ より大きい複素数
解説はこちら
<等式>バーゼル問題
$\displaystyle {1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots =\frac{\pi^2}{6}$
不思議な足し算について
<等式>和が $\pi$
$\displaystyle 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots =\frac{\pi}{4}$
<等式>和が $\log$
$\displaystyle 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots =\log 2$
<等式>和が $\sin$
$\displaystyle 1-\frac{1}{3!}+\frac{1}{5!} - \frac{1}{7!} + \cdots =\sin 1$
<等式>和が $\cos$
$\displaystyle 1-\frac{1}{2!}+\frac{1}{4!}- \frac{1}{6!} + \cdots =\cos 1$
<等式>和がネイピア数 $e$
$\displaystyle 2+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!} + \cdots =e$
【コード】Pythonで数列の和を計算
数列をリストでseqと定める。
数列の和の計算
sum(seq)
解説はこちら
sum()関数の使い方を習得しよう。
sum()関数は、引数にリストを入れることで、リストの要素の合計値を出力する。
[5, 7, 3, 4, 8]の要素の合計値を計算して出力する。
lst = [5, 7, 3, 4, 8]
sum(lst)
数列の和のリストを作成
accumulate(seq)
解説はこちら
i番目までの和を並べて新しいリストを作るitertools.accumulate()関数の使い方を習得しよう。
itertoolsモジュールを利用する。
accumulate()関数は, 引数にリストを入れることで, そのリストの0番目からi番目までの要素の合計値をi番目とするリストを作成する。
ただし, list()関数を適用しなければ, 実際のリストとして出力されない。
[2, 7, 5, 3]のリストにaccumulate()関数を適用し新しいリストを作る。
from itertools import accumulate
lst = [2, 7, 5, 3]
result = list(accumulate(lst))
print(result)
リーマンゼータ関数の値
mpmath.zeta() sympy.zeta()
解説はこちら
$s$ を実部が $1$ よりも大きい複素数とします。ゼータ関数の値 $\zeta(s)$ をPythonで計算してみよう。
ゼータ関数（小数近似）
小数近似を行う場合はmpmathモジュールを利用する。
zeta()関数の引数に $s \neq 1$ の複素数を入力することで, （解析接続された）ゼータ関数の値を出力する。
ゼータ関数（有理数表示）
分数表示を行う場合はsympyモジュールを利用する。
zeta()関数の引数に $s \neq 1$ の複素数を入力することで, （解析接続された）ゼータ関数の値を分数（有理数表示）で出力する。計算を正確にする場合, sympy.S()で型を変えておくと良い。
Pythonコード入力例①. $\zeta(-1)$ と $\displaystyle -\frac{1}{12}$ の値を mpmath.zeta()で出力する。
from mpmath import zeta
print(zeta(-1))
print(-1/12)
Pythonコード入力例②. $\zeta(-1)$ の値を sympy.zeta()で出力する。
from sympy import zeta, S
print(zeta(-1)) # -1/12（有理数で表示）
print(zeta(S(-1))) # -1/12（計算用）
まとめノート
「数列の和」とは
ある規則で並んだ数を足し合わせること。
記号
数列の和 $S_n = a_1 + \cdots + a_n$ を $\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$ と記す.
定数列
定数 $c$ について $\{ c \}_n$ の和は $\displaystyle \sum_{k=1}^n c = nc$ である.
A. 数列 $\{n^p\}_n$ の和
- $1+ 2+ \cdots + n$ $\displaystyle =\sum_{k=1}^n k$ $\displaystyle = \frac{1}{2}n(n+1)$
- $1^2+ 2^2+ \cdots + n^2$ $\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}k^2$ $\displaystyle = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
- $1^3+ 2^3+ \cdots + n^3$ $\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}k^3$ $\displaystyle = \left\{ \frac{1}{2}n(n+1) \right\}^2$
B. 等比数列 $\{a r^{n-1}\}_n$ の和 $(r \neq 1)$
初項 $a$, 公比 $r$ の等比数列の和は, $\displaystyle \sum_{k=1}^n a r^{k-1} = \frac{a(r^n-1)}{r-1}$.
C. 和 $S_n$ から一般項 $a_n$ を導く式
$a_1 = S_1$ である. $n \geqq 2$ のとき, $a_n = S_n - S_{n-1}$ である.
ポイント解説
A
数列 $\{ n^p \}_n$ の和は, 二項定理 $$\begin{array}{l}
(k+1)^{p+1} -k^{p+1} \\
= {}_{p+1}\mathrm{C}_{1} k^p + {}_{p+1}\mathrm{C}_{2} k^{p-1}+\cdots +1
\end{array}$$ の両辺それぞれで, $\sum_{k=1}^n$ を計算することで求める。左辺は, $(n+1)^{p+1}-1$ となり, 右辺は, $\displaystyle \sum_{k=1}^n k^p$, $\displaystyle \sum_{k=1}^n k^{p-1}$, $\cdots$ で表される。帰納的に, 数列 $\{ n^p \}_n$ の和の式が分かる。
C
初期値 $a_1$ に注意する。
例：$S_n=n^2+1$ は, $S_n-S_{n-1}$ $=$ $2n-1$ だが, $a_1$ $=$ $S_1$ $=$ $2$ である。$$\displaystyle a_n = \left\{ \begin{array}{ll}
2n-1 & (n \neq 1) \\
2 &(n=1)
\end{array} \right.$$
参考(望遠鏡和)
「「項の差」の和」の計算は, 末項と初項の差になる。$$\sum_{k=1}^{n}(a_{k+1}-a_k) = a_{n+1} - a_1$$
